VIII. Fig. 71. VIII par les lettres C, D, E, F, G, H, L. Or les dife Planche tances des objets fe trouvent par la Trigonométrie en concevant des lignes qui forment des triangles dont les fommets fe terminent à ces objets. Voici dont comment on peut exécuter ce que l'on propose dans le Problême. Prenez une bafe, c'eft-à-dire, la diftance de deux points tels que A & B ; il faut pour cela mefurer actuellement avec une ou plufieurs perches égales, ou avec une chaîne, la longueur du chemin depuis A jufqu'à B en allant toujours en ligne droite: mais pour faire la carte avec exactitude, il faut que cette bafe air une longueur proportionnée à celle du terrain dont on veut lever la carte : par exemple, s'il s'agit de lever la carte d'une Province, il faut prendre une bafe d'environ mille toifes ou plus. Après cela mesurez les angles DAB, EAB, FAB, HAB, LAB, formés par la bafe AB, & par les rayons vifuels qui partent des objets D E, F, H, L que l'on peut voir du point A : enfuite allez à la feconde station B, & mefurez auffi les angles DBA, EBA, FBA, HBA, LBA formés par la même bafe AB, & par les rayons vifuels qui viennent au point B des objets D, E, F, H, L que l'on fuppofe pouvoir être apperçus de ce point: on aura des triangles dont on connoîtra un côté, fçavoir, la bafe AB & les deux angles fur ce côté par exemple, dans le triangle AEB on connoîtra le côté AB & les deux angles EAB & EBA : ainfi par le moyen du premier Problême général on rouvera facilement les deux autres côtés AE & BE. : On n'a pas pris la mefure des angles CAB & GBA, parce qu'ils font trop obtus: mais cela n'empêche pas qu'on ne puiffe avoir la fituation des points C & G: pour cela il faut prendre un des côtés de quelque triangle connu pour bafe (On fuppofe qu'on a trouvé la longueur de ce côté par le moyen de la premiere bafe AB). Ainfi pour déterminer la pofition du point C je puis me fervir de la ligne AD, qui est un des côtés du triangle ADB. Je prends donc la mefure de Fig. 71. l'angle CAD, & enfuite celle de l'angle ADC:ainfi dans Plan VIII, le triangle ACD je connois un côté, fçavoir, AD, & les deux angles fur ce côté : donc je trouverai les deux côtés AC & DC qui déterminent la pofition du point C. S'il y a d'autres objets dont on veuille déterminer la pofition, & que l'on ne puiffe appercevoir des ftations A & B, il faut choisir une nouvelle bafe qui foit un des côtés de quelque triangle connu, en forté que l'on puiffe voir cet objet des deux extrémités de cette bafe par exemple, fi on ne peut voir le point O de la station A, on pourra prendre pour bafe le côté FG que je fuppofe connu par le moyen du triangle BGF, & mefuter les angles OFG & OGF; afin de trouver les côtés FO & GO. Il faut employer la même méthode pour les objets plus éloignés. Quand on aura trouvé lá longueur des côtés des triangles, il ferá aifé d'en marquer la fituation fur unė 'carte à l'aide d'une échelle dont on fe fervira, commė nous l'avons dit, en propofant la feconde méthode de réfoudre les triangles indépendamment des tables des finus. On prendra donc d'abord für cette échelle avec un compas autant de parties égales qu'il y a par exemple de perches dans la bafe AB; & on marquera fur la carte une ligne droite ab égale à l'ouverture du compas les deux extrémités de cette ligne représenteront les deux ftations A & B: enfuite pour marquer la pofition du point E on prendra fur l'échelle avec le compas autant de parties égales qu'il y a de perches dans la ligne AE ; & ayant mis une pointe du compas fur l'extrémité a de la ligne, on décrira un petit arc du côté qui répond au point E: enfuite'on prendra pareillement fur l'échelle autant de parties égales qu'il y a de perches dans BE & ayant pofe une pointe du compas fur l'extrémité b de la ligne, on décrira un autre arc qui coupe le premier : l'interfection des deux arcs marquera la pofition Fig. 14. du point E par rapport aux deux points A & & B. On fera de même pour les autres points. 73. On pourroit fe difpenfer de la peine de chercher tous les côtés des triangles, il fuffiroit après avoir mefuré la bafe AB, & pris avec un inftrument la grandeur des deux angles de chaque triangle, il fuffiroit, dis-je, de faire des triangles femblables à ceux qui font formés fur le terrain par la bafe & les rayons vifuels, felon que nous l'avons expliqué dans la feconde métho de de réfoudre les triangles : ces triangles que l'on feroit détermineroient la pofition des objets. Nous omettons plufieurs obfervations qui font d'ufage dans la pratique de lever des cartes, parce qu'il ne s'agit ici que de faire voir l'application de la Trigonométrie dans cette opération. Ce que nous avons dit jufqu'à préfent, peut fuffire pour faire voir l'utilité de la Trigonométrie : néanmoins afin de faire encore mieux fentir la fubtilité de cet Art, nous allons propofer un Problême, par lequel on verra que l'on peut par le moyen de la Trigonométrie, trouver la diftance des planetes à la terre. PROBLEME VI. 74. Trouver la diftance de la Lune à la Terre. Dans la Fig. 14, le petit cercle dont C eft le centre, & CT le rayon, repréfente la terre, la ligne HB qui touche la terre, repréfente l'horifon fenfible; le petit globe L qui eft dans le plan de l'horifon, représente la Lune; l'autre globe I qui répond auffi au plan de l'horifon, représente Jupiter: enfin FOB eft une partie du firmament, auquel on rapporte les planetes. Si on voyoit la Lune du centre C de la terre, on la rapporteroit au point O du firmament: mais fi on regardoit la lune du point T, on la rapporteroit à un point inférieur du firmament, fçavoir, au point B. Le point Qauquel on rapporteroit la Lune vûe du centre de la terre, eft appellé le lieu vrai de la Lune; & le Fig. 14. point B auquel on la rapporte étant vûe de deffus la furface de la terre, eft nommé le lieu apparent de la Lune ; & l'arc OAB compris entre ces deux points, est appellé parallaxe. Or le firmament étant à une diftance immenfe de la terre, de la Lune & des autres planetes on peut regarder chacune des planetes comme le centre du firmament; ainfi l'arc OB eft la mesure de l'angle OLB & de l'angle CLT oppofé au fommet ; c'eft pourquoi l'un & l'autre de ces deux angles est encore appellé parallaxe. Tout cela pofé, voici comment on trouve la distance de la Lune à la terre. Le triangle CTL formé par le rayon de la terre CT, & par les rayons vifuels CL & TL eft rectangle, parce que le rayon de la terre eft perpendiculaire à la tangente HB qui repréfente l'horifon fenfible (Liv. I. Art. 115); ainfi l'angle T eft droit. D'ailleurs on connoît l'angle CLT mefuré par la parallaxe horifontale OB que l'on trouve dans les tables aftronomiques. Mais on connoît encore le côté CT qui eft un rayon de la terre que l'on fçait être de 1432 lieues communes de France, dont chacune contient 2287 toifes; ainfi on pourra trouver par le premier Problème général le côté CL, qui eft la distance de la Lune au centre de la terre. La Lune n'est pas toujours également éloignée de la terre : mais fi on la prend dans fa moyenne diftance, on trouve que l'angle L eft d'environ un degré, lorfque la Lune répond au plan de l'horifon; on aura donc la proportion fuivante : Le finus de l'angle d'un degré eft au côté CT, qui eft un demi-diametre de la terre, comme le finus de l'angle droit eft à CL. Voici cette proportion : 1745. I:: 100000. CL=5793. 1745 Ainfi le côté CL, qui eft la distance de la Lune au centre de la terre, eft d'environ 57 demi-diametres de la terre; par conféquent la moyenne diftance de la Lune à la terre, marquée par DL, n'eft que de 56 demi-diametres, qui font environ 80000 lieues. Fig. 14. 75. Remarquez que la parallaxe d'une planete eft d'autant plus petite que la planete eft plus éloignée de la terre: par exemple, la parallaxe de Jupiter fuppofé en I eft moindre que celle de la Lune, comme on le voit fenfiblement dans la Figure 14 où la parallaxe de Jupiter eft l'arc AB ou l'angle CIT. Cet angle eft même fi petit qu'il devient infenfible, & que l'angle TCL eft prefque droit, auffi-bien que l'angle CTI, en forte que les deux rayons vifuels CI & TI font fenfiblement paralleles, à caufe de la grande diftance de Jupiter; c'eft pourquoi on ne pourroit pas fe fervir de cette méthode pour connoître la diftance de Jupiter à la terre. 76. On peut remarquer de même par rapport aux hauteurs que l'on veut mefurer fur la terre, qu'il faut être à une diftance médiocre de ces hauteurs, afin que l'erreur infenfible qu'il n'eft prefque pas poffible d'éviter, lorfqu'on prend l'angle de hauteur, en le faifant un peu trop grand ou un peu trop petit, ne cause pas une erreur trop confidérable dans le calcul de la hauteur qu'on cherche. Suppofons, par exemple, qu'il s'agiffe de mefurer la hauteur AC fi on obferve du Fig. 16. point D, & qu'au lieu de prendre l'angle ADC tel qu'il eft, on le faffe un peu plus grand & égal à l'angle FDC; il eft vifible que cette erreur fera la hauteur AC plus grande qu'elle n'eft de la quantité FA qui eft plus du quart de AC mais fi on mefure l'angle de hauteur au point B, & qu'au lieu de prendre l'angle ABC tel qu'il eft, on faffe la même erreur qu'auparavant, en prenant EBC, en forte que l'angle EBA foit égal à Fangle FDA ; il est évident que cette derniere erreur quoiqu'égale à la premiere, ne fera la hauteur AC plus grande qu'elle n'eft effectivement, que de la quantité. EA, qui est beaucoup moindre que, PA. Hen feroit de même, fi on étoit de beaucoup plus près qu'il ne faur de la hauteur à mefurer. Ainfi il faut, afin de mesurer exactement une hauteur, qu'il y ait de la proportion entre la distance de l'observateur à l'objet & la hauteur |