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on prend le côté CA pour rayon & le point C pour cen tre, le côté AB devient la tangente de l'angle C & l'hypotenufe BC en devient la fécante. Cela paroît en tirant l'arc AD dont le côté AB eft la tangente, lequel arc eft la mesure de l'angle C. Mais fi on prenoit le côté AB pour rayon & le point B pour centre, l'autre côté CA feroit tangente de l'angle oppofé B & l'hypotenuse BC deviendroit la fécante du même angle B.

rayon,

19. Quoique l'hypotenuse BC foit la fécante de l'angle Cen prenant CA pour rayon, & qu'elle foit fécante de l'angle B quand c'eft le côté AB qu'on regarde comme il ne s'enfuit pas de-là que les fécantes de ces deux angles aient le même nombre de parties: car fi CA eft plus petit que AB, & qu'on conçoive que l'un & l'autre eft divifé dans le même nombre de parties, par exemple 100000, l'hypoténufe BC contiendra plus de parties de CA que de AB, puifque celles de CA feront plus petites; & par conféquent la fécante de l'angle C aura plus de parties que celle de l'angle B.

On déduit de ce que nous venons de dire dans les articles 17 B & 18 une méthode particuliere de réfoudre les triangles rectangles plus courte que la méthode générale que nous expliquerons dans la fuite. On peut confulter cette méthode particuliere dans la Trigonométrie de nos Elémens in-4°. Après l'article 91 de la quatrième édition, qui eft le foixantetroifiéme de la cinquiéme édition.

20. On fuppofe le finus total ou le rayon de quelque cercle que ce foit, grand ou petit, divifé en 100000, ou même en 1000000 parties égales, en forte que l'on conçoit le rayon d'un petit cercle divifé en autant de parties que le rayon d'un grand cercle ; de même que l'on fuppofe la circonférence de tout cercle divifé en 360 degrés ; & on cherche enfuite combien les autres finus, qui font tous moindres que le finus total, contiennent de parties égales à celles du rayon.

21. Puifque le rayon de tout cercle eft divifé dans l'

même nombre de parties égales, il faut que les parties d'un petit rayon foient moindres que les parties d'un grand : c'eft pourquoi les tables des finus dans lefquelles on trouve combien chaque finus contient de parties à proportion du rayon, ne font pas connoître la grandeur abfolue de ces finus ; mais feulement leur grandeur relative; c'est-à-dire, le rapport qu'ils ont entr'eux: par exemple, quoique l'on trouve que le finus d'un angle de 30 degrés foit de soooo parties, en fuppofant le rayon divifé en 100000 parties,on ne fçait pas pour cela quelle eft la grandeur réelle dé ce finus; en forte qu'on puiffe dire qu'il a 3 pieds, 4 pieds, &c. Mais on fçait quel eft fon rapport avec les autres finus ; on connoît, par exemple, que le nus de 30 degrés eft la moitié du finus de l'angle droit ; puifque le premier eft de 50000 parties, & l'autre de 100000. Il en eft des finuş comme des arcs: on ne connoît pas la grandeur abfolue des arcs, quoique l'on connoiffe le nombre des degrés qu'ils contiennent ; air fi, quoique l'on fçache qu'un arc eft de 20 degrés on ne fçait pas pour cela combien il a de pouces ou de pieds, à moins qu'on ne connoiffe d'ailleurs la grandeur abfolue de la circonférence.

22. Mais quoiqu'on ne connoiffe pas la grandeur abfolue des finus,cela n'empêche pas qu'on ne puiffe trouver la grandeur abfolue des côtés d'un triangle dont on connoît un côté & les angles : car fi dans un triangle on connoît deux angles & un côté, on trouvera les finus des angles par les tables. Or les finus font proportionnels aux côtés oppofés aux angles, comme nous le ferons voir; par conféquent fi le finus de l'angle oppofé ou côté connu eft le double de l'autre finus, le côté connu fera auffi le double du côté cherché: ainfi fi le côté connu eft de so toifes, le côté qu'on cherche fera de toifes. Il faut dire la même chofe des tangentes & des fécantes. Ces réflexions fuffifent afin de faire connoître l'ufage des finus: nous allons préfentement établir quelques propofitions qui tendent à faire trouver

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les finus, les tangentes & les fécantes des arcs ou des angles. Pour cet effet il fuffit de connoître les cordes des différens arcs, parce que la moitié d'une corde eft le finus de la moitié de l'arc foutenu par la corde (9), & qu'on trouve les tangentes & les fecantes par les finus.

LEMME.

23. Dans tout quadrilatere infcrit au cercle, la fomme des deux rectangles des côtés oppofés eft égale au rectangle des deux diagonales.

Soit le quadrilatere infcrit ABEF, dont les deux dia- Fig. 3. gonales font AE & BF. Il faut prouver que la fomme des rectangles ABXEF & AFXBE eft égale au rectangle de AE par BF. Pour cet effet, on tirera la ligne BD de maniere qu'elle faffe l'angle ABD égal à l'angle EBF. Cela pofé, il faut démontrer que le rectangle de AB par EF eft égal au produit de AD par BF, & que celui de AF par BE eft égal au produit de DE par BF; après quoi il fera aifé de faire voir que ces deux produits font égaux au rectangle de AE par BF.

DÉMONSTRATION.

1°. ABXEFADXBF: car dans dans les deux triangles ADB & BEF les angles ABD & EBF font égaux par la conftruction ; & d'ailleurs les angles BAD ou BAE & BFE font égaux, parce qu'ils font appuyés fur le même arc BE. Donc ces deux triangles font femblables, & par conféquent AB. BF:: AD. EF: ainfi ABXEF ADXBF.

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2o. AFXBE DEXBF. Il faut comparer les deux triangles BAF & BDE : l'angle ABF eft égal à DBE à caufe de la partie commune DBF ajoutée aux deux angles égaux ABD& EBF : de plus l'angle AFB du premier triangle eft égal à l'angle DEB ou AEB du fecond, parce qu'ils font appuyés far le même arc AB ainfi les

Fig. 3. deux triangles font femblables ; par conféquent on au ra la proport. AF. DE:: BF. BE: donc AFXBE-DE XBF. Or il eft évident que les produits des deux parties AD & DE de la diagonale AE par BF valent ensemble le rectangle de la diagonale entiere AE par l'autre diagonale BF; par conféquent la fomme des deux rectangles des côtés oppofés du quadrilatere inscrit est égale au rectangle des diagonales.

PROBLEM E. I.

24. Connoiffant les cordes de deux arcs, trouver la corde qui foutient un arc égal à la somme des deux premiers.

Soient les arcs BGE, EHF dont on connoît les cordes BE, EF: il s'agit de trouver la corde BF qui foutient la fomme de ces deux arcs. Pour cela je tire du point E le diametre ACE, & je mene enfuite les cordes AB, AF; après quoi je cherche d'abord la corde AB qui foutient un arc, lequel eft le fupplément de l'arc BGE. L'angle ABE eft droit, puifqu'il eft appuyé sur un diametre: ainfi en retranchant le quarré du côté BE du quarré de l'hypoten. AE, qui eft le diametre, on aura le quarré de AB (Liv. II. art. 184). Par conféquent fi on tire la racine quarrée de ce reste, on aura la corde AB. On trouvera de la même maniere la corde AF par la corde EF. Préfentement fi on multiplie les côtés oppofés du quadrilatere, & qu'on ajoute ensemble les deux produits, la fomme fera égale au produit des diagonales AE & BF. Par conféquent fi on divife cette fomme par la diagonale AE, qui eft un diametre, le quotient fera la diagonale ou la corde cherchée BF.

de

Connoiffant, par exemple, que la corde de 40 grés eft de 68404 & celle de 36 degrés de 61804, on trouvera par la méthode de ce Problême que la corde de 76 degrés contient 123132 parties.

COROLLAIRE I.

25. On pourra trouver par la méthode de ce Problê-

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me la corde d'un arc double de celui dont on connoît Fig. 3. la corde. Si, par exemple, on connoît la corde d'un arc de trois degrés, on trouvera celle d'un arc de fix degrés. Ce n'eft qu'une application du Problême dans laquelle le calcul eft plus court, parce que dans ce cas la corde AB devient égale à la corde AF.

COROLLAIRE II.

26. Ayant la corde d'un arc on pourra auffi trouver celle d'un arc triple ou d'un arc quadruple, quintuple, &c. Pour un arc triple, on cherchera d'abord celle d'un arc double: enfuite connoiffant la corde de l'arc double & celle de l'arc fimple, on trouvera la corde de la fomme de ces deux arcs;c'eft la corde de l'arc triple. Pour l'arc quadrup.on cherchera d'abord la corde de l'arc double: enfuite celle d'un arc qui foit double de celui dont on aura trouvé la corde; la derniere corde trouvée fera celle de l'arc quadruple de l'arc fimple. Pour l'arc quintuple on cherchera la corde de l'arc double, enfuite celle de l'arc triple, & enfin celle de la fomme de ces deux arcs, dont l'un eft double & l'autre triple : cette derniere corde fera celle d'un arc quintuple de l'arc fimple. Tout cela fuit évidemment du Problême I.

PROBLEME I I.

27. Connoiffant la corde d'un arc, trouver celle de la moitié de cet arc.

On connoît, par exemple, la corde BF de l'arc BEF, il s'agit de trouver la corde EF de l'arc EHF, que je fuppofe la moitié de l'arc BEF. Je tire le diametre ACÉ, qui fera perpendiculaire à la corde FF, & qui la coupera en deux parties égales, parce qu'il a deux de fes points également éloignés des extrémités B & F de la corde BF:fçavoir,le cent. C & le point E. Ainfi le triang. EMF eft rectangle en M. Or dans ce triangle on connoît le

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