l'on mene MQ parallele à BC, & qu'on nomme CD, b; en bb-yy foutangente QH, fera y DEMONSTRATION. PQ_étant le parallelogramme des coordonnées CQ= aа xx bles PTM, MQH donneront TP ( ). PM, (y) :: MQ(x). QH: = aayy donc xx aabb-aayy mettant donc cette ; bb valeur de xx dans celle de QH, l'on aura après la rédu- bbyy y bb CH(+). сн : mais (Prop. 1.) aa— xx COROLLAIRE. bb – yy 12.SI l'on ajouté y = CQ à QH y bb CH= d'où l'on tire CQ (y). CD(b) :: CD (b). , l'on aura PROPOSITION X. Theorême. FIG. 63. 13. SOIT une Ellipfe ADBE, dont AB & DE font les axes conjuguez; C, le centre; MT, une tangente qui rencontre les axes conjuguez en H & en T. Je dis que la ligne GOL parallele à la tangente MT fera divifée en deux également en O par la ligne MCV menée du point touchant M par centre C. Ayant mené par les points Z, M, O, G, les lignes LK, MP, OQ, GX perpendiculaires à l'axe AB, & par O la ligne RON parallele à AB qui rencontrera KZ en N, & XG en R, & nommé les données AC, ou CB, a; CD, ou CE, b; & les indéterminées CP, x; PM, y; CQ, m; QX, ou OR, z; QK, ou GN, f; AX fera a +m — 2; BX, a —m+z; AK, a +m+f; & KB, a —m -f. = Il faut prouver que GO OZ, ou ce qui eft la même chofe, RO ()=ON (S). DE'MONSTRATION. LEs triangles femblables CPM, CQO donnent CP (x). PM (y) :: CQ (m). Q0 ===RX=KN: l'on my bb a auffi (no. 8.) CT= & (no. 12.) CH— —, & . " les triangles semblables TCH, ORG, ONL, donnent TC (*).CH (#) :: OR (x). RG= bb CH (-) ::ON(S). NL = aa bbzx mm my bbfx & KL y X bbfx aay Mais (art. 12. n°. 5.) aa (CB3). bb aay aay (CD3) :: aa— mm + 2mz — zz (AX × XB). mmyy xx abbmz b*zzxx (XG'), & aa (C B'). bb ( C D') :: aa a*yy le bbzx 15 aay — 2mf— (AK × KB). d'où l'on trouve ces deux équations. donc XG= ; mmyy 2bbmf b*ffxx aa &TC (-): my + (KĽ') aabb bbmm - 2bbmf - bbs, & ayant ôté la feconde de la premiere, le premier membre du premier, & le second du second, l'on aura celle-ci, b+zzxx b*Пxx 2bbmz+2bbmf+ — 2bbmz+2bbms—bbzz aayy aayy +bbff, d'où l'on tire =; car après avoir effacé de l'équation D les termes qui fe détruisent, il reftera b1zzxx b1ffxx aayy bbzz+bbf. On divifera ce refte par bb, aayy = 0. & l'on multipliera le quotient par aayy, il viendra bbzzxx - bbffxx: aayyzz+aaffyy. On égalera le tout à o, ce qui donnera bbzzxx — bbssxx + aayyzz + aassyy On divifera cette équation par bbxx+aayy, & l'on aura au quotient z-f=o, ou bien zz=f, ou z=s, OR =ON; donc GOOL. C. Q. F. D. La pofition de la ligne GZ peut changer en bien des manieres à mesure que le point O s'approche ou s'éloigne du centre C., ou fe trouve au-delà par raport à M: mais cela ne peut au plus que changer les fignes dans les expreffions des lignes AX, XB, AK, KB, XG & KL, & l'on trouvera toujours z=/; c'est pourquoi la Propofition eft généralement vraye. COROLLAIRE I, 14. IL eft clair que la ligne FCS menée par le centre C, parallele à la tangente MT eft divifée en deux éga lement par le centre C: car le point O tombant en C, GL devient FS, & comme le point M peut être pris indifferemment fur tous les points de l'Ellipfe, il s'enfuit que toutes les lignes comme FCS, font coupées par le milieu en C, puifqu'elles peuvent toujours être paralleles à une tangente MT menée par l'extrêmité M d'une autre ligne MCV qui paffe auffi par le centre C. DEFINITIONS. 15. LEs lignes MCV, FCS qui paffent par le centre d'une Ellipfe font nommées diametres, & lorfque deux diametres MCV, FCS font pofez de maniere que l'un des deux FCS eft parallele à la tangente MT menée par l'extrêmité M de l'autre MCV; ils font nommez diametres conjuguez; & les lignes OG, OL font nommées ordonnées, ou appliquées au diametre M V. COROLLAIRE II. 16. IL est évident que les ordonnées à un diametre quelconque font divisées en deux également par le même diametre. COROLLAIRE III. 17. IL eft clair que la pofition des diametres conjuguez eft déterminée par la pofition de la tangente menée par l'une de leurs extrêmitez. COROLLAIRE IV. } 18. SI l'on ajoute les deux équations A & B de la pro- =2aabb 2bbmm aayy 5 " —2bbzz, ou, en supposant que le point O tombe en C ← 0.017 bbzzxx aayy détruit les termes où m fe rencontre, ༢༢ ; d'où l'on tire zz=aa—xx, en mettant pour aayy aayy trouvée par la premiere Propofition; d'où l'on conclud que CI= AP × PB: & que CP2 — AI × IB : car l'on a auffi xx=aa — ༢༢ = COROLLAIRE V. ༢༢.༢ FIG. 63, 19. SI l'on fait dans cette équation xx — aa—ZK, Z (CI)=x (CP); les points P & I fe confondront en un FIG. 64. feul point r, & les deux diametres conjuguez MV, FS feront égaux, & l'on aura 2xx aa; donc x = √1 aa qui fervira à déterminer leur pofition en cette forte. Soit prife Cr moyenne proportionnelle entre CB & fa moitié, & menée par la perpendiculaire MYS qui rencontrera l'Ellipfe aux points M & S, par où l'on menera les diametres conjuguez MV, FS qui feront égaux. COROLLAIRE VI. = FIG. 64.20, IL eft clair que AY × Y B⇒Cr2 : car l'équation (n°. 18.) xx=aa xx=aa — zz fubfifte toujours, quoique x=z ou CPCI-CY. 7 COROLLAIRE VII. 21. A Caufe de Arx YB Cr2= (n°. 19. ) 1⁄2 aa, l'on a (Art. 12, no, §.) — aa (Cri). yy ( P M2 ) :: aa ( CB2 ). bb (CD2); car (Art. 12. n°. 5. ) on a aa — xx.yy :: aa. ( bb. Mais (no. 19.) x =√aa. Donc xx = aa. Donc fubftituantaa dans le premier terme aa—xx de l'analogie précedente à la place de xx, on aura aa —— aa = 1⁄2 aa, py;: aa : bb, d'où l'on tire y✔bb, qui servira à trouver le point fur CD, comme l'on a trouvé |