sa va

C

ontre détruit les termes où m se rencontre,

bbzzxx

ad

༢༢

adyy
d'où l'on tire 2=aa — **, en mettant pour aayy
zu- xx

aayy leur aabb bbxx tirée de l'équation aa — xx =

bb trouvée par la premiere Proposition ; d'où l'on conclud que CI'= APR PB: & que CP=AI ~ IB: car l'on a aussi xx = aa 22:

COROLLAIRE V. F16.63. 19. Si l'on fait dans cette équation xx = aa-42,5

༢ (CI)=x (CP); les points P & 1 se confondront en un

( = F16. 64. seul point Y , & les deux diametres conjuguez MV, FS

seront égaux, & l'on aura 2xx = aa ; donc x=V-{aa qui servira à déterminer leur position en cette sorte. Soit. prise CY moyenne proportionnelle entre CB & fa moitié, & menée par y la perpendiculaire MYS qui rencontrera l’Ellipse aux points M&S, par où l'on menera les diametres conjuguez MV, FS qui seront égaux.

COROLL À I Ř E VI. F16.64.20. Il est clair que AY XYB=Cr* : cár l'équation (no. 18.) xx=aa- a subsiste toujours, quoique x=2

= az ou CPECI=CY.

و

.

COROLLA IRE VII. 21. A Cause de AY XYB=CY=(no. 19.) į aa, l'on

, a (Art. 12. no. 5.) įaa (CY). yy ( PM? ) :: aa (CB' ). bb (CD'); car ( Art. 12. no. 5.) on a aa — xx.yy :: aa,

, bb. Mais (no. 19.) * =Vaa. Donc xx =

aa. Donc substituant į aa dans le premier terme ad — xx de l'ana

aa logie précedente à la place de xx, on aura aa – į aa ={aa. yy:: aa . bb, d'où l'on cire y =V_bb, qui servira à trouver le point l sur CD, comme l'on a trouvé

XX

22.

х

(no. 19.) le point y sur CA; & la perpendiculaire FQM

Y déterminera ausli la position des deux diametres conju. guez égaux MCV, FCS.

COROLLAIRE VIII. PUISQUE ( Art. 12. no.5.) AP ® PB, ou (no. 18.) C1.516.63. PM'::CB. CD', & AIXIB ou (no 18.) CP. IS' CB.CD', l'on a C12. PM2 :: CP2. IS', ou CI. PM:: CP.IS, d'où il suit que les triangles CPM, CIS sont égaux. PROPOSITION XI.

Theorême. 23. AYANT supposé les mêmes choses que dans la Pro- F 16.630 position précédente. Je dis que le rečtangle vox O M des parties du diametre MV faites par l'appliquée OL eft à OL', quarré de la même appliquée; comme VM’, quarré du diametre VM , eft à FS', quarré du diametre conjugué à VM.

Ayant nommé AC, ou CB, a; CD, ou ČE,b; CP,

PM,y;OR, ou ON, 2; CQ,m; CV ou CM, d; FC,
ou CS ,f; CO,u; & O L OU OG, S.
Il faut prouver que dd uu.] :: ddiff :: 4dd. 4ff.

D E'M ONS I RATIO N.
L'Ona ( art. 12.)
A. aa

les triangles semblables MCP,
OCQ, donnent d(CM).x (CP):: u(CO). M(CO);
donc
B.dm=ux, & les triangles semblables SCI, LON, &
CI= (no. 18.) aa — xx, donnent ff (CS*). aa — **
(CI)::(LO'). 32, (ON'); donc
C.ffmaal - xxl.

En reprenant présentement l'équation du quatriême Corollaire de la Propofition précédente no. 18, qui étant divisée par 2 , devient, ,

* ;

aayy

-- XX

bb

admmyy D.

XX

= aabb

642
'ZŽXX

bbmm – bbz2 , & en met-
aayy
tant dans le numerateur du premier terme , & dans le dé-
nominateur du second pour aayy , sa valeur aabb — bbxx
tirée de l'équation A , l'on aura

damm

ZZXX

da

XX

ad

XX

UuXX

tirée de

22, & mettant encore pour mm sa valeur

dd

.

C

aan – 2:) l'équation B , & pour 23, la valeur

sa

tirée de l'é.

if quation C, l'on aura après les réductions & transpositions,

dar dd

d'où l'on cire dd

- uu.] :: dd

|::dd.ff:: 4dd. ff 4.ff. C. Q. F. D.

COROLL AIRE I. 24.

SIMV & Fs sont les deux diametres conjuguez égaux, d sera =f; & l'équation deviendra dd — uu =

, qui seroit une équation au cercle, li l'appliquée OL faisoit un angle droit avec CM.

D E F INI TI O N. 25. Si l'on fait d.f:: 28. p, la ligne p sera appellée le

2f.P parametre du diametre MV.

COROLLA IR E II.
26. L A proportion d.f:: 2f.p donne dp = 2ff; donc
en multipliant par d, l'on a ddp=2dff; donc = ;
c'est pourquoi si l'on met 'dans l'équation précédente
pour de la valeur, l'on aura dd 2d5 d'où l'on

뽐
tire dd - uu.
uu. l :: 2d.po

COROLLAIRE

P

ff

COROLLA IR E ΙΙΙ. 27. Lon

N peut encore mettre pour un autre raport ==; & l'on aura dd – uu=mff, d'où l'on tire cire dd - uu.[::m. N.

On ajoutera ici les mêmes choses que l'on a dires art. 12, no. 9, 10, 11, 12, 13, & 14.

ff

.

Theorême 28. Les mêmes choses étant encore supposées, si l'on mene Gq parallele à MV. Je dis que Fqx qs. qG' :: FS*. VM.

En nommant encore CM, ou CV, d; CS, ou CF f;co, ou qG, u;OG., ou Cq,/; Fq sera f -/; & qs, f+$.

Il faut prouver que ff -0. uu :: 4ff. 4dd.

D E M O N S T R A TI O N. EN reprenant l'équation de la Proposition précédente

del dd - Uu la multipliant par ff, transposant & diviff

ffur fant par dd, l'on en tirera ff - (=

0 qui donnera f -luu:: ff. dd :: 4.ff. 4dd. C. l. F. D.

dd

D E' FINITION, 19. I l'on fait f.d:: zd. p, la ligne

P

=p fera appellée le

parametre du diametre É ś.

la ligne =P

P

A

i dd

P

COROLLAIRE I. 30. L A Proportion précédente donne pf = 2dd; donc

2f

f pff = 2fdd, ou mettant donc dans l'équation ff

2 fut

af precedente pour

la valeur *, l'on aura ff-F d'où l'on tire ff -/. uu :: 25. p. COROLLAIRE II.

ff 31. N peut encore changer le raport

a fa valeur

dd

P

P

ou

2f

en P

da

muu

m

ce

un autre raport égal, & l'on aura f -
qui donne j-luu:: M. N.

On ajoutera encore ici ce qu'on a dit art. 12. no.9, 10, 11, 12, 13 & 14.

COROLLA IR E III. 32. Il est clair ( no. 25.& 29.) que le re&angle de l'un des diametres conjuguez par son parametre est égal au quarré de l'autre diametre.

PROPOSITION XIII.

Problême. 33.

Dev x lignes quelconques FS & MV qui se coupent par le milieu en C à angles obliques étant données de position & de grandeur pour deux diametres conjuguez d'une Elipse, déterminer la position & la grandeur des axes de la même Ellipse.

Cette Proposition contient deux cas qu'on pourroit néanmoins réduire à un seul, comme on va voir dans le second : le premier est lorsque les lignes FS & MV song égales : le second lorsqu'elles sont inégales.