PROBLEME X I.

Faire un angle d'un nombre de degrés propofë.

41. Solution. Il faut fe rappeller la méthode dont on a parlé ci-devant (37 & 38) pour divifer un cercle. Si l'on fe propofe, par exemple, de faire un angle de 55 degrés fur la ligne donnée BC (Fig. 23.). De l'extrémité Fig, 23. B de la ligne comme centre, & d'un rayon BC pris à volonté, décrivez l'arc de cercle CD ; & fans changer l'ouverture du compas, portez-la fur cet arc de C en Ď, vous aurez l'arc CD de la fixieme partie du cercle (38), ou de 60 degrés. Divifez cet arc par la moitié en E pour en avoir un de 30 degrés. L'efpace ED étant partagé en trois Parties égales, vous donnera le point de 40 degrés en F, celui de so en G: divifez en deux l'arc GD compris entre 50 & 60 degrés, le point A trouvé fera celui de 55 degrés par ce point & par B pris ci-devant pour centre, tirez la ligne AB pour fecond côté; l'angle ABC fera de 55 degrés, puifqu'il a pour mefure l'arc CA compris entre fes côtés.

Si l'angle demandé étoit plus grand que 60 degrés, il faudroit porter deux ou trois fois l'ouverture de compas ou le rayon fur l'arc CD pour en avoir un de 120 ou 180 degrés, & faire le refte comme ci-devant.

PROBLEME XII.

Un angle étant donné à volonté en mesurer l'ouverture.

42. Solution. Pour connoître la valeur d'un angle tracé, on opérera comme au problême précédent. Suppofons qu'on veuille mefurer l'angle ABC (Fig. 23.). Du fommer B Fig. 23. comme centre & d'une ouverture de compas à difcrétion BC, on décrira l'arc CD. Portant cette même ouverture de C en D on aura 60 degrés. Il ne s'agit donc plus que de chercher combien il y a de degrés dans l'arc compris entre les deux côtés de l'angle, felon la proportion de 60 degrés

qu'on vient de trouver. On marquera en E la moitié de ce nombre, & l'on divifera en trois la diftance ED. Enfin prenant la moitié de l'efpace GD, on aura le point de 55 degrés ce qui fait voir que l'angle ABC eft de ce nombre de degrés.

ce

S'il eft néceffaire de pouffer les divifions plus loin qui arrive le plus fouvent, il faudra partager les arcs de 5 degrés en 5 parties égales, & prendre les fractions de çes dernieres parties.

Autres méthodes de mesurer les angles.

43. On trouve toujours dans les étuis de Mathématiques, un inftrument nommé Rapporteur, dont on se sert pour mefurer les angles avec beaucoup plus de facilité. Ce rapporteur eft un demi-cercle divifé en fes 180 degrés, & tracé fur du cuivre ou fur de la corne. On applique le centre du rapporteur à la pointe de l'angle, & il ne refte plus qu'à voir combien il y a de degrés compris entre les deux côtés de l'angle. Cet inftrument fert non-feulement à mefurer les angles, mais à en former. qui aient précisément le nombre de degrés qu'on veut leur donner.

44. On peut auffi fe fervir de tout cercle déjà divifé, en degrés, pour mefurer les angles. Si l'on veut, par exemple, meFig. 23. furer l'angle ABC: entre les côtés de cet angle, prolongés s'il eft néceffaire, on décrira l'arc AC précisément du même rayon, ou avec la même ouverture de compas qu'a été décrit le cercle qui eft divifé en degrés. Il fuffira enfuite de prendre avec le compas la corde de l'arc AC qui mefure l'angle, & de la tranfporter fur le cercle divifé: la quantité de degrés qu'elle embraffera fera la grandeur de l'angle ABC.

45. Au lieu d'un cercle divifé en degrés on peut encore faire ufage d'une ligne droite, fur laquelle fe trouvent marquées toutes les longueurs des cordes prifes dans un cercle d'un certain rayon. Les Pilotes ont communément entre les mains des. regles de buis, fur lefquelles. fe trouve ordinairement, gravée une ligne ainfi divifée fous le nom d'Echelle des cordes. On en trouvera la conftruction Livre I. Chap. V. de la premiere Section des Leçons de Navigation.

46. Pour mesurer un angle par le moyen de cette échelle il n'y a qu'à décrire entre les deux côtés de l'angle propofé un arc AC, dont le rayon BC foit exactement égal à la corde de 60 degrés prife fur l'échelle; parce que, cette corde indique la longueur du rayon du cercle qui a fervi à la conftruction de

LIV. I. SECT. I. CHA P. III. l'échelle. L'arc AC étant décrit, il ne refte plus qu'à prendre fa corde AC avec le compas, & la porter fur l'échelle, faifant attention de placer l'une des jambes au point marqué zéro, l'autre jambe indiquera fur l'échelle.le nombre de degrés qui formé la mesure de l'angle cherché.

CHAPITRE II I.

Des Triangles.

47·LE E Triangle eft une figure bornée par trois côtés: il

renferme trois angles. On appelle Triangle Reditigne, celui qui eft formé par trois lignes droites; & on nomme Triangle Sphérique, celui qui eft formé fur une fphere par trois arcs de grands cercles.

On peut confidérer le triangle par rapport à fes angles ou par rapport à fes côtés; ce qui lui fait donner des noms différens:

1o. Par rapport à fes Angles.

48. Si le triangle à un angle droit, il s'appelle Rectangle, comme ABC (Fig. 24.): on nomme le côté AC Fig. 24: oppofé à l'angle droit B, l'Hypoténufe.

49. Si le triangle n'ayant pas d'angle droit, fés trois angles font aigus, il s'appelle Obliquangle ou Oxygone, comme DEF (Fig. 25.).

50. Si le triangle enfin a un angle obtus ou plus grand qu'un droit, il fe nomme Obtus-angle ou Ambligone, comme GHI (Fig. 26.).

II°. Par rapport à fes côtés.

Fig. 25.

Fig. 26.

1. Si les trois côtés d'un triangle font égaux, il fe homme Equilatéral, comme LMN (Fig. 27.)

Fig. 27.

52. Si deux côtés feulement font égaux, ce triangle s'ap

pelle Ifocele, comme OPQ (Fig. 28.).

Fig. 28.

53. Et fi les trois côtés font inégaux, il s'appelle Sca Fig. 29. lene, comme RST (Fig. 29. ).

54. Une propriété très-remarquable, & qu'il importe aux Pilotes de favoir, c'eft que dans tous les triangles formés par des lignes droites, foit que ces triangles foient redangles ou obliquangles, les trois angles joints ensemble valent toujours 180 degrés c'est-à-dire, que fi du même rayon ou de la même Fig. 30. ouverture du compas, on décrit dans le triangle de la Fig. 30, trois arcs de cercle dans les trois angles A, B, C, pour leur fervir de mefure, ces trois arcs joints enfemble feront toujours une demi-circonférence de cercle, & vaudront par conféquent 180 degrés. Ce feroit la même chofe fi l'on ouvroit ou fi l'on fermoit les deux angles A & B: ils deviendroient plus grands ou plus petits; les deux lignes AC & BC, au lieu de s'aller rencontrer en C, fe rencontreroient plus loin ou plus près; mais l'angle C qui, comme nous l'avons dit (20), ne reçoit pas fa grandeur de celle de fes côtés, deviendroit plus aigu ou plus obtus, plus petit ou plus grand & de cette forte les trois angles vaudroient toujours 180 degrés ou la moitié du cercle.

55. Il fuit delà qu'auffi-tôt qu'on connoît deux angles d'un triangle, on connoît toujours le troifieme; puifqu'il eft le refte à la moitié du cercle. Si l'un des angles eft, par exemple, de 60 degrés & l'autre de 80, il faut néceffairement que le troifieme foit de 40, afin que les trois ensemble faffent 180 degrés. Lorsque le triangle eft rectangle, l'angle droit vaut lui feul 90 degrés, ainfi il faut que les deux autres angles qui font aigus, faffent ensemble l'autre moitié ou les autres 90 degrés, & qu'ils foient par conféquent le complément l'un de l'autre. Suppofé que l'un foit de 30 degrés, l'autre fera de 60. Si l'un eft de 41° 15', l'autre fera de 48 degrés 45'.

56. On peut remarquer encoré comme une propriété utile que le plus grand angle d'un triangle eft toujours oppofé au plus grand côté, & le plus petit angle au plus petit côté, de forte que quand deux côtés font égaux, les deux angles oppofés font auffi égaux.

57. Les figures formées de quatre côtés fe nomment Qua drilateres & on les nomme Parallelogrammes, lorfque Fig. 31. leurs côtés oppofés font paralleles entr'eux. La Fig. 31 nous préfente un de ces parallélogrammes; le côté AB, eft paralFig. 32. lele à CD, & AC l'eft à BD. La Fig. 32 eft bien encore un parallélogramme, mais on lui donne en particulier le nom de Redangle, parce que tous fes angles font droits.

58. Les lignes droites, comme AD, qui coupent ces figures par la moitié en fe rendant d'un angle à fon oppofé, font des diametres; mais on les nomme plus ordinairement Diagonales, pour les diftinguer des diametres du cercle.

CHAPITRE IV.

Définitions des Sinus, Tangentes & Sécantes. 59. LE Sinus d'un arc eft une ligne droite tirée d'une extrémité de

cet arc perpendiculairement fur le rayon qui paffe par l'autre extrémité du même arc. Cette ligne eft auffi le finus de l'angle mefuré par l'arc. Par exemple, le Sinus de l'arc AC (Fig. 33.) eft la Fig. 331 ligne CE tirée de l'extrémité C de cet arc perpendiculairement fur le rayon AB, qui paffe par l'autre extrémité A de ce même arc. Cette ligne CE eft en même-temps finus de l'angle ABC, dont l'arc AC eft la mefure: de même la ligne CF eft finus de l'arc CG & de l'angle CBG.

60. On pourroit auffi définir le finus par rapport à l'angle immédiatemement, en difant que le finus d'un angle eft une perpendiculaire abaissée de l'extrémité d'un de ses côtés, pris pour rayon, fur l'autre côté prolongé s'il eft nécessaire.

61. Enfin on peut dire encore que le finus d'un arc eft la moitié de la corde d'un arc double. Par exemple, CE finus de l'arc AC eft la moitié de CH, qui eft la corde de l'arc CAH double de AC.

L'arc grandiffant le finus augmente jufqu'à un certain terme, après lequel il diminue. Si, par exemple, on fait l'arc égal au quart de cercle AG, il aura pour finus le rayon ou demi-diametre BG plus grand que CE finus de AC : mais fi après cela on augmente encore l'arc, le finus diminuera. Ainfi le finus de l'arc AL fera LM plus petit que BG; par où l'on voit que le rayon eft le plus grand de tous les finus, & c'eft pour cela qu'il prend le nom de finus total.

62. La partie AE du rayon, comprise entre le finus & l'extré mité A de l'arc AC, s'appelle le finus-verse de cet arc ou de l'angle ABC.

63. On appelle Tangente de l'arc AC ou de l'angle ABC la ligne AN élevée perpendiculairement fur l'extrémité du rayon AB, & terminé par le rayon BC prolongé jufqu'en N.

64. Ce même rayon prolongé BCN, & terminé par la tan