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de même que

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(4, 6, 8, 10,) & dans le second, 4 fois S font 32, de même que les 4 termes ( 4, 6, 10, 12 ; ) Dans

, le même s fois le Moyen S, font 40 :) de même que les s termes consecutifs ( 4. 6, 8, 10, 12 ; )

s & dans le premier s fois 7 font

35 ; les s termes ( 4, 6, (7, 8, 10, font

35 & ainsi de tous les autres termes : D'où l'on déduit que tout Moyen aritmétique est seul équivalent à fa Progression entiere.

3. Si la progression n'a que trois termes dont le premier soit zéro , comme ( 0, 4, 8, le double du Moyen (4) sera donc égal au seul extrême 8, Et fi la proportion ou progression a quatre terines, dont le premier soit zéro, comme ( 0, 3; 4, 7, ) la somme des deux terines moyens 3 & 4 sera aulli

& égale alors au seul extrême 7

4. Si dans une Progression arithmétique comme ( 2) 4 (6) 8 (10) 12 (14&c.) on prend quatre termes à souhait, en laissant entre les deux derniers termes choisis autant de termes de la progression, qu'entre les deux iis, comme par exemple les ( 2. 6) 10. 14,) en passant 4 entre 2 &6; & 12 entre 10 & 14, ces 4

formeront encore une Proportion arithmétique ; parce que la difference de ( 2 à 6 ) comprend les deux differences égales de 2 à 4, & de 4 à 6 ; c'est-à-dire le double de la Difference (2) de cette Progreision arithmétiqne. De même la difference de 10 à 14, comprend les deux differences égales de ro à 12, & de 12 à 14;

10 c'est-à-dire encore le double de la même difference ( 2 ) de la Progression. Donc la difference totale de 2 à 6 cft la même, que la difference totale de ro à 14:& par consequent le quatre termes ( 2. 6 | 10. 14, ) font une proportion aritmétique. Ce seroit la même chose si l'on prenoit dans la Progression (0) 2, 4 (6)(8).10,12,(14,) les

4

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quatre termes ( 0, 6; 8, 14, &c.) en passant 2 & 4 entre les 2 , 115, & les deux termes 10 & 12 entre les deux derniers.

1r E x E M P L E Sur les Progressions Géométriques. IV. Un courier est envoyé après un autre qui a 10 licuës d'avance devant lui; mais le dernier parti fait 3 lieuës par heure, au lieu que le is n'en fait que 2. On demande donc à quelle distance le dernier parti atteindra le premier. Pour résoudre cette question, j'ôte la moindre vitesse ( 2 ) du premier courier de la plus grande ( 3 ) du dernier, pour avoir leur difference qui est ( 1;) & je résous cette Régle de proportion Géométri

. que : [ Si ( 1 ) de difference, donne 3 pour la plus grande vitesse ; combien donneront io lieuċs d'avance ? Réponse. 30 lieuës. ] C'est-à-dire que le dernier parti n'atteindra le ii qu'après que le dernier aura fait 30 lieuës; ou si l'on veut après 19 heures de marche , à compter du moment de son départ,

20 EXEMPLE.

>

V. Si au coiitraire la distance du lieu du départ, au lieu où le dernier courier doit atteindre le premier est donnée, comme par exemple, 30 lieuës, , avec l'avance du premier sur le dernier, encore de 10 lieuës, & la vitesse du ir toujours de deux lieuës, par heure; on ôtera cette avance des 30 lieues avoir le reste du chemin que le premier doit faire jusqu'au moment de la jonction, sçavoir 20 lieuës ; & l'on fera cette autre Régle de proportion [ Si 20 lieuës qui restent à faire, donnent

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pour

30 lieuës pour la course entiere, que donnera la vitesse du premier courier qui est de deux lieuës par heures ? ] il viendra au 4 terme ( 3 ) lieuës , que le dernier courier doit faire par heure, afin d'atteindre le premier à 30 lieuës du lieu du départ.

Il est évident au reste qu'on peut regarder le chemin de ces deux couriers, comme une Progression géométrique, qui commence par 10 lieuës, & finit par zéro : car tandis que le dernier courier fait les ro lieuës que le premier a d'avance sur lui; le premier qui va plus lentement d'un tiers fait la valeur des deux tiers de ces mêmes ro lieuës, sçavoir 6 lieuës & deux tiers ; & tandis que le dernier courier fait ces 6 lieuës , que le premier a encore d'avance sur lui; ce dernier fait encore les

de cette avance, sçavoir 4 licuës & de lieuë : & ainsi de suite, en diminuant toujours l'avance du premier courier sur le dernier d', jusqu'à ce que cette avance soit réduite à zéro. Or il est évi. dent qu'une suite de termes dont chacun n'est que les de son précédent, composent une Progression géométrique, suivant la définition de cette Progression ; puisque tous ces termes ont un même raport à leurs suivans immédiatement.

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I

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VI. On demande jusqu'à quel nombre de livres on peut peser avec í drachme, 2 drachmes, 4 drachmes, 1 once, 2 onces, 4 onces, 8 onces, i livre, 3 liv. 9 liv. 27 liv. S i liv. Il faut remarquer

8 premierement qu'avec les 7 premiers poids on peut peser jusqu'à leur somme, en mettant seulement des poids du côté vuide de la balance, lequel est opposé à la marchandise; & de même

vert il

1

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1

aufli avec les cinq derniers, en mettant des poids
des deux côtez de la balance, comme je l'ai décou.

у a déja plusieurs années. Ainsi il ne s'agit
que

de trouver la somme de la Progression géomé-
trique double ( 8, 4, 2, 1, , , , ) & celle de la

11
Progression géométrique triple, (81, 27, 9, 3;
1. ) L'exposant de la sie est 2, ou (,) & son
terme fuperieur est 16 onces, d'où ôtant le moin-
dre terme ; d'once, il reste ( 15 ) onces, 7 drac. )
La Régle de proportion sera donc pour

la

progression double: [Si l'excès des 2 sur i dans l'Ex. posant ( , ) sçavoir 1, donne le dénominateur 1; que donnera le reste is onces, 7 drachmes ? ] || elt évident que la réponse est is onces, 7 drach. Et pour la Progression triple, l'Exposant est 3, ou },& fon terme superieur ( 243,) d'où ôtant le moindre terme 1, il reste 242. Ainsi la Régle de proportion pour cette Progression sera celle-ci : [ Si l'excès de 3 sur 1 dans l'Exposant ( , ) sça

donne le dénominateur 1, que donnera le
refte 242? ] Il est encore évident que la réponse

]
eft ( 121; ) ainsi avec cette douzaine de poids on
peut peser depuis 1 drachme jusqu'à 12 i liv. in-
clusivement. Au lieu que si l'on eût pris les s plus
haut poids ( 1, 2, 4, 8, 16,) en la place de ( 1,
3, 9, 27, 81,) comme l'on fait ordinairement
dans le Commerce, on n'auroit pû peser que juf-
qu'à 3 1 liv. pesant, qui en est la forme : ce qui
pourra produire dorénavant dans le commerce
un facilite considerable , comme je l'espere.

Suposez par exemple qu'il fallât peser la valeur
de 113 liv, pesant de quelque marchandise. On
mettroit d'abord dans le bassin vuide, les trois
poids 8 1,27, & 9;& comme leur somme fait 117

p.on mettroit du côté de la marchandise les a autres poids 3 & i qui rabattroient 4 liv. per. des

ܕܐ voir

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1.

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>

117 : ce qui feroit en tout les 113 livres proposées. Si l'on vouloit peser 65 livres, 11 onces, 7 drachmes, on mercroit dans le bassin vuide 8 1 liv. pes. & 27

du côté de la marchandise : ce qui feroit 54 en tout: Ensuite 9 & 3 livres pesant du côté

3 vuide, & 1 du côté de la marchandise; ce qui feroir os liv.pesant, Enfin on mettroit du côté vuide

is $, 2, & i onces, 4, 2, & i drachmes : ce qui donneroit les 11 onces, 7 drachmes proposées.

I

415

446

162

6

18

27, 5481,

9

Théorie pour les Progressions géométriques.

VII. De ce que le même rapport régne entre tous les termes d'une Progression géométrique, comme ( 3,9

2432

279 ) il s'ensuit non seulement que ( 3,19,11 9 127,) mais encore par soustraction que ( 316119 118,) &c, c'est-à-dire que le ir terme 3 est à la difference 6, des 2 premiers 3 & 9; comme le second est à la difference is du 2d au 3€, ou de 9 à 27; & ainsi de tous les autres termes. Donc aussi tous les termes ensemble de la Progression proposée ( 3, 9, 27, 81, 243 ) ont même raport à toutes leurs differences ensemble ( 6, 18, 54, 162, 486) (y comprise la difference 486 du plus grand terme ( 243 ) à son superieur (729,) afin qu'il y ait autant de differences, que de termes proposez :-) que le 15 terme (3) à la pre difference 6, par exemple; puisqu'il est évident que 3 étant la moitié de 6, & 9de 18 , & 27 de 54; 3, 9, & 27 ensemble, ou

, 39 sont encore la moitié des 3 ensemble, 6, 18, 54, ou de 78, & ainsi de toutes les auties. Prenant donc l'Exposant de la Progression qui est icy ( 3,) on aura l'analogie ( 3111193;) 3 est à à i comme 9 est à 3. Donc aussi la difference de 1,

1

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