Imágenes de páginas
PDF
EPUB
[ocr errors]

( 4, 6, 8, 10, ) & dans le second, 4 fois 8 font 32, de même que les 4 termes (4, 6, 10, 12;) Dans le même 5 fois le Moyen 8, font 40:) de même que les termes confecutifs (4. 6, 8, 10, 12; } S & dans le premier 5 fois 7 font de même que les s termes (4, 6, (7,) 8, 10, font 35, & ainfi de tous les autres termes : D'où l'on déduit que tout Moyen aritmétique eft feul équivalent à fa Progreffion entiere.

353

3. Si la progreffion n'a que trois termes dont le premier foit zéro, comme ( 0, 4, 8, le double du Moyen (4) fera donc égal au feul extrême 8, Et fi la proportion ou progreffion a quatre termes, dont le premier foit zéro, comme (o, 3; 4, 7, ) la fomme des deux termes moyens 3 & 4 fera auffi égale alors au feul extrême 7.

4. Si dans une Progreffion arithmétique comme (2) 4 (6) 8 (10) 12 (14 &c.) on prend quatre termes à fouhait, en laiffant entre les deux derniers termes choifis autant de termes de la progreffion, qu'entre les deux Irs, comme par exemple les 4 (2. 6 | 10. 14,) en paffant 4 entre 2 & 6; & 12 entre 10 & 14, ces 4 formeront encore une Proportion arithmétique; parce que la difference de ( 2 à 6) comprend les deux differences égales de 2 à 4, & de 4 à 6; c'eft-à-dire le double de la Difference (2) de cette Progreffion arithmétique. De même la difference de 10 à 14, comprend les deux differences égales de 10 à 12, & de 12 à 14; c'est-à-dire encore le double de la même difference (2) de la Progreffion. Donc la difference totale de 2 à 6 eft la même, que la difference totale de 10 à 14: & par confequent le quatre termes (2.6 10. 14,) font une proportion aritmétique. Ce feroit la même chofe si l'on prenoit dans la Progreffion (o) 2, 4 (6)(8) 10,12,(14,) les

quatre termes ( 0, 6; 8, 14, &c.) en paffant z & 4 entre les 2, 1гs, & les deux termes 10 & 12 entre les deux derniers.

IT EXEMPLE

Sur les Progreffions Géométriques.

3

IV. Un courier eft envoyé après un autre qui a 10 lieuës d'avance devant lui; mais le dernier parti fait lieuës par heure, au lieu que le 1 n'en fait que 2. On demande donc à quelle diftance le dernier parti atteindra le premier. Pour réfoudre cette question, j'ôte la moindre vitesse (2) du premier courier de la plus grande (3) du dernier, pour avoir leur difference qui eft ( 1; ) & je réfous cette Régle de proportion Géométrique: [Si (1) de difference, donne 3 pour la plus grande viteffe; combien donneront ro lieuës d'avance? Réponse. 30 lieuës. ] C'est-à-dire que le dernier parti n'atteindra le if qu'après que le dernier aura fait 30 lieuës; ou fi l'on veut après 10 heures de marche, à compter du moment de fon départ.

2d EXEMP LE.

V. Si au contraire la distance du lieu du départ, au lieu où le dernier courier doit atteindre le premier eft donnée, comme par éxemple, 30 lieuës, avec l'avance du premier fur le dernier, encore de 10 lieuës, & la vitesse du 1 toujours de deux lieuës, par heure; on ôtera cette avance des 30 lieuës pour avoir le refte du chemin que le premier doit faire jufqu'au moment de la jonction, fçavoir 20 lieuës; & l'on fera cette autre Régle de proportion [ Si 20 lieuës qui reftent à faire, donnent

·30 lieuës pour la courfe entiere, que donnera la viteffe du premier courier qui eft de deux lieuës par heures?] il viendra au 4e terme ( 3 ) lieuës, que le dernier courier doit faire par heure, afin d'atteindre le premier à 30 lieuës du lieu du départ.

Il est évident au refte qu'on peut regarder le chemin de ces deux couriers, comme une Progreffion géométrique, qui commence par 10 lieuës, & finit par zéro: car tandis que le dernier courier fait les ro lieuës que le premiera d'avance fur lui; le premier qui va plus lentement d'un tiers fait la valeur des deux tiers de ces mêmes 10 lieuës, fçavoir 6 lieues & deux tiers ; & tandis que le dernier courier fait ces 6 lieuës, que le premier a encore d'avance fur lui; ce dernier fait encore les de cette avance, fçavoir 4 lieuës & de lieuë: & ainfi de fuite, en diminuant toujours l'avance du premier courier fur le dernier d', jufqu'à ce que cette avance foit réduite à zéro. Or il est évident qu'une fuite de termes dont chacun n'est les de fon précédent, compofent une Progreffion géométrique, fuivant la définition de cette Progreffion; puifque tous ces termes ont un même raport à leurs fuivans immédiatement.

3 EXEMPLE.

I

que

VI. On demande jufqu'à quel nombre de livres on peut pefer avec i drachme, 2 drachmes, 4 drachmes, I once, 2 onces, 4 onces, 8 onces, I livre, 3 liv. 9 liv. 27 liv. 8 1 liv. Il faut remarquer premierement qu'avec les 7 premiers poids on peut pefer jufqu'à leur fomme, en mettant feulement des poids du côté vuide de la balance, lequel eft oppofé à la marchandise; & de même

I

auffi avec les cinq derniers, en mettant des poids des deux côtez de la balance, comme je l'ai découvert il y a déja plufieurs années. Ainfi il ne s'agit que de trouver la fomme de la Progreffion géométrique double ( 8, 4, 2, 1, 1⁄2, 1, 1¦, ) & celle de la Progreffion géométrique triple, (81, 27, 9, 3, 1.) L'expofant de la re eft 2, ou (,) & fon terme fuperieur eft 16 onces, d'où ôtant le moindre terme d'once, il refte (15) onces, 7 drac.) La Régle de proportion fera donc pour la progreffion double: Si l'excès des 2 fur 1 dans l'Expofant (,) fçavoir 1, donne le dénominateur 1; que donnera le refte 15 onces 7 drachmes? ] Il eft évident que la réponfe eft 15 onces, 7 drach. Et pour la Progreffion triple, l'Expofant eft 3, ou , & fon terme fuperieur ( 243,) d'où ôtant le moindre terme 1, il refte 242. Ainfi la Régle de proportion pour cette Progreffion fera celle-ci :

I

Si l'excès de 3 fur 1 dans l'Expofant (,) fçavoir 2, donne le dénominateur 1, que donnera le refte 242?] Il est encore évident que la réponfe eft (121;) ainfi avec cette douzaine de poids on peut pefer depuis 1 drachme jufqu'à 121 liv. inclufivement. Au lieu que fi l'on eût pris les 5 plus haut poids (1, 2, 4, 8, 16,) en la place de (1, 3, 9, 27, 81,) comme l'on fait ordinairement dans le Commerce, on n'auroit pû pefer que jufqu'à 3 1 liv. pefant, qui en eft la fomme : ce qui pourra produire dorénavant dans le commerce un facilite confiderable, comme je l'efpere.

Supofez par exemple qu'il fallût pefer la valeur de 113 liv. pefant de quelque marchandise. On mettroit d'abord dans le baffin vuide, les trois poids 81, 27, & 9 ; & comme leur fomme fait 117 1. p. on mettroit du côté de la marchandise les z autres poids 3 & 1 qui rabattroient 4 liv. pef, des

117 ce qui feroit en tout les 113 livres propofées. Si l'on vouloit pefer 65 livres, 11 onces, 7 drachmes, on mettroit dans le baffin vuide 8 1 liv. pef. & 27 du côté de la marchandise : ce qui feroit 54 en tout: Enfuite 9 & 3 livres pefant du côté vuide, & 1 du côté de la marchandise; ce qui feroit 65 liv. pefant, Enfin on mettroit du côté vuide 8, 2, & 1 onces, 4, 2, & 1 drachmes : ce qui donneroit les II onces, 7 drachmes propofées.

I

Théorie pour les Progresions géométriques.

162

243,

416

9

VII. De ce que le même rapport régne entre tous les termes d'une Progreffion géométrique, comme (3,69, 18 27,54 81, 279) il s'enfuit non feulement que (3, 19, || 9 |27,) mais encore par fouftraction que (3 | 6 || 9|18) | &c. c'est-à-dire que le it terme 3 eft à la difference 6, des 2 premiers 3 & 9; comme le fecond eft à la difference 18 du 2d au 3e, ou de 9 à 27; & ainfi de tous les autres termes. Donc auffi tous les termes ensemble de la Progreffion propofée (3, 9, 27, 81, 243) ont même raport à toutes leurs differences ensemble (6, 18, 54, 162, 486) (y comprise la difference 486 du plus grand terme (243) à fon fuperieur (729,) afin qu'il y ait autant de differences, que de termes propofez :) que le terme (3) à la 1re difference 6, par éxemple; puisqu'il est évident que 3 étant la moitié de 6, & 9 de 18, & 27 de 54; 3, 9, & 27 ensemble, ou 39 font encore la moitié des 3 ensemble, 6, 18, 34, ou de 78, & ainfi de toutes les autres. Prenant donc l'Expofant de la Progreffion qui eft icy (3,) on aura l'analogie (31 || 2 | 3 ;) 3 à 1 comme 9 est à 3. Donc auffi la difference de 1,

eft à

415

« AnteriorContinuar »