Compas au point A, & faites les deux arcs F & G. Puis le transportez fans l'ouvrir ni fermer au point B. Décrivez deux autres arcs qui coupent les premiers en F & en G. Si on tire la ligne FG, elle coupera en deux également l'arc proposé au point E, tirez la Corde AB.

Ôn connoît aisément que la ligne AB eft divifée également au point D, par la perpendiculaire FG. Or le centre du Cercle doit fe trouver dans cette ligne (par la 4.) fuppofons que ce foit le point C; après avoir tiré les rayons CB & CA, on aura deux Triangles rectangles, qui ont tous leurs côtez égaux; ce qui fe prouve de foi-même. Donc (par la 8.) les côtez AD & DB étant égaux, les angles ACE & ECB qui leur font opposez, le feront auffi. D'où je conclus que les arcs AE & EB font égaux, puifqu'ils font chacun la mesure des angles égaux.

PROPOSITION XXXL

THEOREM E.

L'angle qui eft dans un demi-Cercle eft droit; celui qui eft compris dans un plus grand fegment, eft aigu; & celui qui eft dans un plus petit eft obtus.

Démonftration.

L'Angle BAC qui eft renfermé dans Fig. 304

un demi-Cercle eft droit, puifque s'appuyant fur le diametre BC, il a pour mefure la moitié du demi-Cercle BEC. L'angle EAC renfermé dans le grand fegment de Cercle EBAC, fera aigu, puifqu'il a pour mefure la moitié de l'arc EC qui eft moindre qu'un demi-Cercle. L'angle FAC fera obtus, puifque fa mefure eft la moitié de l'arc FEĆ, qui cft plus grand qu'un demi-Cercle.

USAGE.

Par cette Propofition les Ouvriers ont Fig. 364 le moyen de connoître fi leur équierre eft jufte; foit donc l'équierre DAB. On veut voir fi l'angle A eft pofitivement droit: ayant tire la ligne DB, il faut la divifer par le milieu au point C, lequel fera le

Fig. 31.

centre d'un Cercle qui doit paffer par les trois points D, A, B; la ligne DB étant le diametre, l'angle Afera droit s'il touche la circonference, puifqu'il aura pour mefurer la moitié de l'arc DOB, qui est un quart de Cercle.

PROPOSITION XXXII

THEOREME

La ligne qui coupe le Cercle au point de Pattouchement, fait avec la touchante des angles égaux à ceux des fegmens al

ternes.

Q

UE la ligne BD coupe le Cercle au point B, qui eft celui où la ligne AC le touche; je dis que l'angle CBD, que la ligne BD comprend avec la touchante BC, eft égal à l'angle F, qui eft celui du fegment alterne BFD; & que l'angle ABD eft égal à l'angle E du fegment BED.

Démonftration.

Ceci eft facile à démontrer; car l'angle ABD, formé par la touchante & la Corde, a pour mesure la moitié de l'arc BOD: il fera donc égal à l'angle BED

du fegment alterne, puifque cet angle a auffi pour mefure la moitié du même arc BOD fur lequel il s'appuye. Par la même raifon, l'angle CBD ayant pour mesure la moitié de l'arc BED, fera égal à l'angle F, lequel s'appuyant fur le même arc BED, doit en avoir auffi la moitié pour mefure. C. Q. F. D.

PROPOSITION XXXIII.

PROBLEM E.

Décrire fur une ligne un fegment de Cercle capable d'un angle donné.

N

Ous entendons par un fegment ca- Fig. 3 pable d'un angle donné, un arc fur lequel l'angle CDA s'appuyant, l'a pour mefure. Faites fur la ligne AB,l'angle BAC égal à l'angle G; élevez fur le point A, la perpendiculaire AD: pareillement élevez fur AC la perpendiculaire CD. Cela étant fait, on aura le Triangle rectangle ADC; ayant divifé l'hypotenufe en deux également au point F, lequel étant pris pour centre d'un Cercle qui doit paffer par les points A, C, D, on aurale fegment CAO capable de l'angle donné G, ce qui est bien évident; car l'angle G étant égal à Pangle BAC, ils auront chacun pour me

Fig. 32.

Fig. 33.

fure la moitié de l'arc AOC (par la 19.) l'angle CDA qui eft à la circonference fera auffi égal à l'angle G; puifqu'il a pour mefure la moitié de l'arc AOC fur lequel il s'appuye. C. Q. F. F. & D.

Comme la Propofition 34. eft, pour ainfi dire, la même que celle-ci, pour ne la point féparer, nous dirons que fi l'on vouloit couper dans un Cercle un fegment capable d'un angle donné, ayant tiré au Cercle une Tangente telle que AB, & du point d'attouchement ayant fait l'angle BAC égal à l'angle donné G, on aura le fegment COA qui eft ce qu'on cherche.

PROPOSITION XX X V.

THEOREME.

Si deux lignes fe coupent dans un Cercle le rectangle compris fous les parties de Pune, eft égal au rectangle compris fous les parties de l'autre.

Remierement, fi les deux lignes fe coupent au centre du Cercle, elles feront égales & divifées également; ainfi il est évident que le rectangle compris fous les parties de l'une, eft égal au rectangle compris fous les parties de l'autre. Fig. 33.

Secondement, que l'une des lignes