729 à 3; fçavoir 2 a même rapport à 1; que la difference de 3, à 9, fçavoir 6, avec 3; ou tout d'un coup, que toutes les differences ensemble 6, 18, 54, &c.) qui compofent la feule difference du fuperieur de la Progreffion 72 au plus petit terme 3, ont à tous les termes de la Progreffion(3, 9, 27, 81, 243, ) pris ensemble. 2. Mais dans le 2d éxemple où l'Expofant de la progreffion 1, ou, (puifqu'un courier fait 3 lieues, tandis que l'autre n'en fait que 2, ) & le plus petit terme zéro; l'analogie generale ci-deffus fe change en cette autre particuliere. [Comme l'excès du plus grand des 2 expofans 3, fur le plus petit 2, fçavoir 1, eft à 2; ainfi l'excès du fuperieur de la Progreffion fur le zéro ou le rien, (c'est-à-dire ainfi ce même fuperieur) eft à la fomme de tous les termes de la même Progreffion. Or dans cet éxemple ce nombre fuperieur eft l'avance du premier courier fur le dernier parti, & le chemin qui refte à faire au premier parti eft la progreffion entiere. L'analogie eft donc en ce cas (comme 1 eft à 2; ainfi l'avance du premier cou-. rier parti, eft au chemin qui lui refte à faire avant d'être atteint :) ou fi l'on veut encore [comme 1, eft à 3, c'est-à-dire aux 2 ensemble 1 & 2: ainfi l'avance du premier courier parti, est à la distance du lieu du départ à celui de la jonction, c'est-àdire à tout le cheminà faire,] qui eft précisément régle qu'on a donnée. 3. On peut ajouter icy quelques proprietez des progreffions géométriques qui auront leurs ufages dans la fuite, comme celle-cy: Que dans toute progreffion géométrique, par éxemple (1, (3) 9 (27) (81) 243 (729 ) fi l'on prend plufieurs termes (3, 27; 81, 729) 2 à 2, en laiffant également de termes entre chaque couple, on aura encore une proportion géométrique; car le raport de 3 à 27 (par exemple) comprend les 2 raports égaux de 3 à 9, & de 9 à 27; & le rapport de 8 1 à 729, comprend les 2 rapports de 8 1 à 243, & de 243 à 729, qui font encore égaux entr'eux, & aux deux précédens, par la nature des Progreffions géométriques, dans lefquelles les rapports font égaux entre tous les termes. Donc le raport compofé de 3 à 27 eft le même que le raport compofé de 81 à 729, puifque c'est un principe de raifon; [ Que les raports qui font compofez d'un égal nombre de raports égaux, foient égaux; ] & qu'il y a évidemment le même raport compofé entre un fils & fon aïeul, qu'entre le pere & le bifaïeul. Et par confequent les quatre termes (3 | 27 || Si | 729,) font encore en proportion géométrique. 4. Si l'on a une proportion géométrique de quatre termes, dont le premier foit l'unité(1|3||6|18) le produit des deux termes moyens 3 & 6, fera égal au feul extrême 18. Car on a vû dans les Régles de proportion: Que toujours le produit des deux termes moyens d'une proportion géométrique, eft égal à celuy des deux extrêmes. Or les deux extrêmes font icy 1 & 18, dont le produit eft 18,puifqu'une fois 18 eft toujours 18. Sila tion n'a que 3 termes, dont le 1 foit encore l'unité, comme (||5|| 25,) alors le produit des par lui-même, qu'on appelle fon Quarré, sera égal au feul extrême 25; puifqu'on peut toujours exprimer cette proportion ainfi (155 |25.) propor 5. Si l'on multiplie encore le Quarré du Moyen 5, fçavoir 25 par 5, on aura ce qu'on appelle fon Cube, lequel est toujours lui feul égal au produit des trois termes de la Progreffion (1, 5, 25, fçavoir 125 d'où l'on peut inferer auffi que rout Moyen Géométrique eft encore un Equivalent par multiplication à fa Progreffion entiere; mais cette proprieté eft bien moins utile, que celle du Moyen Arithmétique; c'eft pourquoi je ne m'y arrêteray pas davantage. Au refte on ne doit pas être furpris de ce que je traite dans l'Arithmétique des proportions & progreffions géométriques, & encore moins de ce que je les traite en même-temps que les arithmétiques; puifque les unes & les autres font également arithmétiques, & ont également lieu dans la fcience des nombres; le nom de Géométrique n'étant qu'un terme pour les dif tinguer. CHAPITRE XIX. Des Logaritmes & des Questions qu'on peut réfoudre par leur moyen. ART. I. Es nombres font d'une grande utilité C puifque par ; leur moyen on peut éviter les multiplications, les divifions; les compofitions de puiffances, ou multiplications égales de raports; les extractions de racines, ou divifions égales de raports; les fouftractions des quarrez, & faire quantité d'autres opérations de Géométrie & d'Algébre, dont on ne pourroit fe tirer fans leur fecours. Les Logaritmes font des nombres artificiels qu'un fçavant Anglois nommé le Baron Néper a inventés, & que d'autres fçavans ont joints aux nombres naturels pour les ufages qu'on vient de rapporter. On les trouve dans l'Arithmétique de Henry Brigs, qui accompagnent les nombres naturels juf qu'à (100,000.) on en trouve encore en quantité d'autres livres; ceux du P.Preftet les accompagnent jufqu'à 20000 feulement; les petits de du Lac de Mr Ozanam, & de Blondel ne montent que jufqu'à (10000.) Nous allons nous fervir des petits de Dulac, ou de M. Ozanam, qui font les mêmes comme étant fuffifans pour des éxemples, & dans les mains de tout le monde. IT EXEMPLE, Du Changement de la Souftraction en addition ; ou de la Souftraction des quarrez,par le moyen de leurs racines données. 18 25 ། 43-16334685 25 18 7-08450980 301-24785665 18 25 25 144 125 324 625 quarré de 25 II. Supofez les nombres donnez 25 & 18, au moyen defquels on veüille connoître la dif ference de leurs quarrez, fans avoir la peine de former d'abord ces quarrez,pour ôter enfuite l'un de l'autre. Pour y parvenir, je fais une fomme de 18 & 25 qui eft (43,)dont je prens le logaritme (16334685,) j'ôte encore 18 de 25; ce qui me donne pour leur difference (7,) dont je 324 quarré de 18 prens auffi le logaritme 301. Difference fais une fomme de ces (08450980 enfin je deux logaritmes; fçavoir (24785665, au droit 7 sc, crit de laquelle je trouve (301) pour la difference de Du changement des Multiplications en additions "Si 8846 den. d 4413 A en 190 jour. ont produit combien Réponse. *80468378a, ou 9023 en 22 8 2d 1983 d. 262 jo. |