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lettre qui tient la place de x, eft conftante; ainfi ayant pris fur AH, AD=c,& mené DE parallele à BC, DE fera la valeur de c; mais en ce cas de tous les points de la ligne AG, iln'y a que le feul point E qui réfout le Problême, puifque AD=c ne peut avoir differentes

valeurs.

COROLLAIRE II.

4. D'où l'on voit que les équations déterminées, & indéterminées du premier degré, font de même genre; puifqu'elles fe conftruisent par les mêmes lignes, & de

la même maniere.

5.

COROLLAIRE III.

SI I Dans l'équation precedente ay=bx, a étoit égale à b, elle deviendroit y=x; & il n'y auroit alors qu'à faire BC=AB; & affignant à x la valeur arbitraire AD; DE (y) parallele à BC, feroit égale à AD = x.

COROLLAIRE IV.

6. IL eft évident que dans toutes les équations indéterminées du premier degré, les inconnues ont entr'elles un rapport conftant, c'eft-à-dire, qu'elles font l'une à l'autre comme une ligne donnée, à une ligne donnée, ou en raison d'égalité : comme dans l'équation précedente ay➡bx, où x. y :: a. b, & dans celle-ci y=x, où x. y :: 1. 1.

COROLLAIRE IV.

7. On voit auffi avec évidence ON N que dans les équations indéterminées du premier degré, une des inconnues croiffant ou diminuant, l'autre croît auffi ou diminue qu'elles peuvent toutes deux augmenter ou diminuer à l'infini, en gardant toujours entr'elles le même rapport.

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THEOREM E.

8. SI dans une équation indéterminée qui n'est point du premier degré, & où par confequent les deux lettres inconnues font multipliées ou par elles-mêmes, ou entr'elles, de quelque maniere que ce puisse ètre, l'on assigne à l'une des deux tant de valeurs arbitraires qu'on voudra. Je dis que tous les points qui détermineront les valeurs correspondantes de l'autre, feront dans une ligne courbe.

DEMONSTRATION.

DANS les équations à la ligne droite, les inconnues gardent toujours (n° 6) entr'elles un rapport conftant. Orlorfque dans une équation, les deux lettres inconnues font multipliées ou par elles-mêmes, ou entr'elles, ou de l'une & de l'autre maniere tout ensemble; elles ou les lignes qu'elles expriment, ne peuvent garder le même rapport dans toutes les variations ou changemens de valeurs qu'elles peuvent recevoir : car il faudroit pour cela, que l'une des deux fût dans un des membres de l'équation, & l'autre dans l'autre, toutes deux feules, ou accompagnées feulement de lettres connues. Mais par l'hypothefe, ces deux lettres font multipliées ou par elles-mêmes ou entr'elles; donc elles ne peuvent garder un rapport conftant dans tous les changemens de valeur qu'on leur peut affigner: c'eft pourquoi, en affignant tant de valeurs que l'on voudra à l'une des deux, les valeurs relatives de l'autre ne peuvent être déterminées par une ligne droite. Il faut donc qu'elles le foient par une ligne courbe. C. Q. F. D.

C'eft ici la preuve generale, chaque équation en fournit de particulieres, en les comparant à l'équation à la ligne droite, comme on va voir par l'exemple qui fuit,

EXEMPLE.

9. SO IT l'équation yy=aa-xx, qui eft du second degré, Il eft clair, 1°. Que x croiffant, y diminue: car le fecond membre de l'équation devient d'autant plus petit, que x devient grande. 2°. On ne peut pas augmenter x en forte qu'elle furpaffe la ligne exprimée par a: car le fecond membre deviendroit negatif; & la valeur de y feroit par confequent imaginaire. 3°. Si l'on fait x=a, l'équation deviendra yy=aa-aa=0. Il est donc évident que cette équation ne fe rapporte point à la ligne droite; puifque fes qualitez font toutes differentes de celles des équations du premier degré ; & partant qu'elle fe rapporte à une ligne courbe.

Pour déterminer & décrire cette courbe par le moyen de fon équation yy=aa-xx. Soit une ligne droite CH, FIG. 4. donnée de pofition dont l'extremitè C foit fixe, & dont les parties CP foient nommées x; foit une autre ligne CG perpendiculaire à CH, & dont les parties C2 foient nommées,y; foit auffi une ligne donnée KZ nommeé, a; ayant mené PM parallele à CG, & QM parallele à CH; QM fera = CP CP=x,& PM=CQ=y.

Si l'on affigne prefentement tant de valeurs differentes qu'on voudra à l'une des inconnues x ( CP) l'on déterminera par la Geometrie, les valeurs correfpondantes de y (PM).De forte que tous les points M feront à la courbe à laquelle fe rapporte l'équation propofée yy

aa xx.

=

Suppofons premierement x=o; le point P tombera en C, & le point M, fur la ligne CG, & effaçant dans l'équation, le terme xx, qui devient nul par la fuppofition de x=o, l'on aura yyaa, donc y =+a; c'est pourquoi fi on prolonge CG du côté de C ; & qu'on fasse Ce, & CE chacun KL a ; CE fera la valeur pofitive y, & Ce fa valeur negative, & les points E&e, feront la courbe dont il s'agit.

de

=

= =

Suppofons en fecond lieu y =o, le point fe con.

fondra avec le point C, le point Mtombera fur CH, & l'on aura aa—xx, ou xx=aa; donc x= =+a; c'eft pourquoi, fi l'on prolonge CH du côté de C, & qu'on prenne de part & d'autre du point C, CB & CA chacune égale KLa; CB fera la valeur pofitive de x, & CA sa valeur negative, & les points B & A, feront à la même courbe en queftion. D'où l'on voit déja que les quatre points A, E, B, e, font également diftans du point C.

Si l'on affigne à une valeur quelconque CP moindre que CB pour déterminer la valeur de PM=y, l'on aura en extrayant la racine quarrée y =±V aa—xx' d'où l'on tire cette conftruction. Ayant prolongé PM du côté de P; du point C pour centre, & pour demi diametre l'intervalle KL=a, l'on décrira un cercle qui coupera PMen M& m; PM fera la valeur pofitive de y, & Pm fa valeur négative, & les points M, m feront à la courbe cherchée; car à cause du triangle rectangle CPM; l'on a PMCM-CP2, c'eft-à-dire en termes Algebriques yy=aa-xx ; dont y=+V aa−xx.

Oril eft évident que pour déterminer la valeur de y (PM) dans toutes les pofitions du point P, il faudra décrire un cercle du centre C, & du rayon KZ;c'eft pourquoi ce cercle eft lui-même la courbe cherchée, ce qui d'ailleurs étoit facile à remarquer: mais on a jugé à propos de faire fur l'équation au cercle, qui eft la plus fimple de toutes les courbes, les raifonnemens que l'on vient de faire, pour donner une idée de ceux que l'on doit faire fur les équations aux autres courbes, afin de les décrire par leur moyen, d'en marquer les principales déterminations, & d'en découvrir les principales proprietez.

COROLLAIRE

N

COROLLAIRE I.

10. On voit clairement qu'au lieu d'avoir assigné à x, dans l'équation précedente, des valeurs CP prifes fur CH pour trouver tous les points M, m, ou pour déterminer les valeurs correspondantes de y = PM,l'on auroit pû regarder x comme inconnue, & affigner à y des valeurs CO prises fur CG, qui auroient fervi à déterminer de la mê me maniere les valeurs correfpondantes de x = Q_M➡ CP, en tirant de l'équation précedente, x=v aa—yy. COROLLAIRE II.

II. IL eft clair que fiune des inconnues x de cette équation yy=aa-xx devenoit une conftante, la valeur de l'autre y pourroit de même être déterminée par le moyen du cercle; d'où il fuit en general que toutes les équations déterminées du fecond degré peuvent être conftruites par le moyen du cercle, & qu'elles font de même genre que les équations indéterminées du même fecond degré.

12.

REMARQU E.

ON remarquera 1. Que dans toutes les positions du point P, la ligne PM doit toujours demeurer parallele à CG; & que dans toutes les pofitions du point Q, la ligne QM doit toujours demeurer parallelé à CH. 2o. Qu'il y a toujours deux points, l'un (P) fur CH, & l'autre (Q) fur CB, qui peuvent fervir également à déterminer un même point (M). 3°. Que tout ce qu'on vient de dire du cercle fe peut appliquer à toutes les antres courbes, lorsqu'il s'agit de les décrire par le moyen de leurs équations.

DEFINITIONS.

DANS toutes les courbes, les lignes droites (CH) dont au moins une des extremitez (C) eft fixe, & dont

13.

C

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