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angles A & B en deux également par les lignes AF, BF, lefquelles concourront en F. Puis tirant la ligne FG perpendiculaire à AB,décrivez un Cercle du centre F,à l'ouverture FG. Je dis qu'il touchera tous les autres côtez,c'eft-à-dire,qu'ayant tiré FH perpendiculaire à BC; FG & FH feront égales. Tirez la ligne FC. Démonftration.

Puifque les angles égaux A & B ont été divifez en deux également, leurs moitiez GAF, GBF feront égales:& puisque les angles en G font droits, & le côté FG commun, les Triangles AFG, BFG feront égaux en tout fens (par la 26. du 1.) ainfi les lignes AG, GB font égales. De plus, je prouve que les lignes BG BH; auffi-bien que HG,F H font égales: Et les côtez AB, BC d'un Pentagone régulier étant égaux, les lignes BH, HC feront égales. Par confequent les angles G & H étant droits & égaux ; les Triangles BFH, HFC feront égaux en tout fens: & les angles FBH, FCH feront égaux (par la 4. du 1.) Et puifque les angles B & C font égaux ; l'angle FCH fera la moitié de l'angle BCD. Ainfi allant à l'un & à l'autre, je démontrerai que toutes les perpendiculaires, FG, FH, & les autres font égales.

PROPOSITION XIV.

PROBLEME.

Décrire un Cercle autour d'un Pentagone régulier.

P

Pl. 1.

Our décrire un Cercle autour d'un Fig. 1. Pentagone régulier ABCDE,divifez deux de fes côtez AB, BC également en G & H; tirez les perpendiculaires GF, HF. Le Cercle décrit du centre F,à l'ouverture FA, paffera par B, C, D, E. Démonftration.

Suppofons que le Cercle eft décrit, il eft évident(par lá 1. du 3.) qu'ayant divifé la ligne AB par le milieu en G;& ayant tiré la perpendiculaire GF; le centre de ce Cercle eft dans cette perpendiculaire: il eft auffi dans HF,donc il est au point F. USAGE.

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Ces Propofitions font utiles pour faire la table des Sinus, & pour tracer des Citadelles car les Pentagones font les plus ordinaires. Il faut auffi remarquer, que ces manieres de décrire un Pentagone autour d'un Cercle, fe peuvent appliquer aux autres Polygones.

Pl. I.

Fig. 18.

PROPOSITION X V.

PROBLE M E.

Décrire un Hexagone régulier dans un
Cercle.

P

Our infcrire un Hexagone régulier dans le Cercle ABCDEF: Tirez le diametre AD, & mettez le pied du compas au point D, décrivez un Cercle à l'ouverture du demi-diametre DG qui coupera le Cercle en C & en E: puis tirez les diametres EGB, CGF, & les lignes AB, AF & les autres.

Démonftration.

Il eft évident que les Triangles CDG, DGE font équilateres: car leurs côtez G C,DG,GE font égaux étant tirez du centre à la circonference,& CD,DE ont été faits égaux à DG; c'eft pourquoi les angles CGD, DGE, & leurs oppofez au fommet B GA,AGF,font chacun la troifiéme partie de deux droits ; c'est-à-dire de 60. degrez. Or tous les angles qui fe peuvent faire autour d'un point, valent quatre droits; c'eft-à dire 360. degrez. Ainfi ôtant quatre fois 60. c'eft-à-dire

240.

240. de 360. refteront 120. pour BGC &FGE,qui feront chacun de 6o. degrez, parce qu'ils font égaux, (par la 15. du 1.) Ainfi tous les angles du centre étant égaux, tous les arcs & tous les côtez fe"ront égaux; & chaque angle A,B,C,&c. fera compofé de deux angles de foixante degrez,c'eft-à-dire de cent vingt degrez. Ils feront donc égaux.

· Coroll. Le côté de l'Hexagone est égal au demi diametre.

USAGE.

Parce que le côté de l'Hexagone de la bafe, foûtendante ou corde d'un arc de 60. degrez,& qu'il est égal au demi-diametre ; fa moitié eft de Sinus de 30. degrez

c'eft par ce Sinus que nous commençons la table de Sinus, Euclide traite de l'Hexagone dans les derniers livres de fes Elemens.

PROPOSITION XVI.
PROBLEM E.

Inferire un Pentedecagone régulier dans

un Cercle.

Nfcrivez dans un Cercle un Triangle PI. i équilateral ABC (par la 2.) & un Pen- Fig. 15 tagone régulier(par la 11.)de forte qu'un des angles du Triangle & du Pentagone

P

fe rencontrent au point A, la ligne BF fera le côté du Pentedecagone, & l'arc EB étant divifé en 2. (par la 9. du 1.) au point I, les lignes BI, IE feront auffi deux côtez du Pentedecagone: Si on infcrit dans les autres arcs des lignes égales à BF, le Pentecagone fera achevé.

Démonftration.

Puifque la ligne AB eft le côté du Triangle équilateral, l'arc AEB, fera de 120. degrez, qui eft le tiers de tout le Cercle; & par confequent il contiendra 5 quinziémes:mais l'arc AE qui eft l'arc du Pentagone, étant de 72 degrez qui font la cinquiéme partie du Cercle, contiendra trois quinziémes. Donc l'arc EB en contient deux,c'eft-à-dire 48 degrez, & par confequent l'arc BF fera un quinziéme ou la moitié de l'arc EB,c'est-à-dire de 24 degrez pour chaque arc du Pentedecagone. USAGE.

Cette Propofition fert pour ouvrir le chemin aux autres Polygones. Nous avons dans le compas de proportion, quelques methodes très-faciles pour infcrire tous les Polygones ordinaires : mais elles font fondées Jur celles-ci, Car on ne pourroit pas marquer fur cet inftrument les Polygones, fi on ne trouvoit leurs côtez par cette Propofi tion, ou par d'autres femblables.

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