Imágenes de páginas
PDF
EPUB
[ocr errors]

rencontrera les côtez quelconques de la fente, & au point F, où il fera rencontré par le marteau, ou par la maffe OF qui le frappera; prendre enfuite ce triangle, tel que feroit AEB, fi ce nouveau Coin lui étoit ainfi infcrit, pour le véritable Coin ; & les parties HE, KE, des côtez de ce Coin triangulaire pour ceux de la fente, fi elle eft curviligne ; auquel cas la pointe E de ce Coin fera toujours (Th. 36.) dans la direction DR de la force G, dont il tendra à fendre le corps deu. Cela conçû ou imaginé, tout le reste demeurant le même que dans les Fig. 248. 249. 250. 25 1. les démonftrations des Th. 37. 38. 39. & leurs Corollaires pour le Coin triangulaire AEB dans une fente rectiligne HRK, pour laquelle on prendra HEK, s'appliqueront de même à tout autre Coin de figure auffi quelconque, & à ce Coin rectiligne AEB dans une fente curviligne ou de côtez courbes. Les figures de ces nouveaux cas font fi aifées à imaginer, que ç'auroit été multiplier inutilement le nombre de celles-ci, que de les yajoûter.

[ocr errors]

SECTION IX.

Corollaire general de la Théorie précedente.

D

Ans une Lettre écrite de Bâle le 26. Janvier 1717.

M. (Jean) Bernoulli, après y avoir défini ce qu'il entendoit par le mot d'Energie, de la maniere qu'on lê va voir dans la définition fuivante, m'annonça qu'en tout équilibre de forces quelconques, en quelque manière qu'elles foient appliquées les unes fur les autres, oumédiatement ou im médiatement; la fomme des Energies affirmatives fera égale à la fomme des Energies negatives, prifes affirmativement.

Cette propofition me parut fi generale & fi belle, que, voyant que je la pouvois aifément déduire de la Théorie précedente, je lui demandai la permiffion qu'il m'accorda, de l'ajouter ici avec la démonstration que cette Théorie m'en fourniffoit, & qu'il ne m'envoyoit pas. La voici féparée pour toutes les Machines précedentes; la Théorie, qui en étoit achevée lorfque ce fçavant Mathématicien m'annonça cette propofition, ne m'ayant pas permis de la démontrer fur chacune de ces Machines en fa place, fans changer un très-grand nombre de citations répandues dans cette Théorie, & toutes celles des Figures qui auroient fuivi la premiere des nouvelles qu'il y auroit fallu ajouter dès la Section 2. ce qui m'auroit fort embarraffé, & expofé à de fauffes citations, n'étant pas poffible de n'omettre aucun de ces changemens. Pour l'intelligence de cette propofition de M. Bernoulli, & de la démonstration que la Théorie précedente en va fournir. Voici comment il s'expliquoit fur ce qu'il entendoit par le mot d'Energie, dans la Lettre où il m'annonçoit cette belle propofition.

DEFINITION XXXII.

'

Concevez (difoit-il) plufieurs forces differentes qui « agiffent fuivant differentes tendances ou directions four « tenir en équilibre un point, une ligne, une furface, ou “· un corps; concevez auffi que l'on imprime à tout le fy- « ftême de ces forces un petit mouvement, foit parallele « à fui-même suivant une direction quelconque, foit au- « tour d'un point fixe quelconque: il vous fera aifé de « comprendre que par ce mouvement chacune de ces for- « ces avancera ou reculera dans fa direction, à moins que quelqu'une ou plufieurs des forces n'ayent leurs ten- «dances perpendiculaires à la direction du petit mouve- « ment; auquel cas cette force, ou ces forces n'avanceroient ni ne reculeroient de rien: car ces avancemens" ou reculemens, qui font ce que j'appelle vitelles vir- « tuelles, ne font autre chofe que ce dont chaque ligne de « · tendance augmente ou diminue par le petit mouvement; a & ces augmentations ou diminutions fe trouvent, fi «· l'on tire une perpendiculaire à l'extrêmité de la ligne « de tendance de quelque force, laquelle perpendiculaire retranchera de la même ligne de tendance, mife dans la « fituation voifine par le petit mouvement, une petite « partie qui fera la mesure de la vitesse virtuelle de cette «

force.

c

[ocr errors]

Soit, par exemple, P un point quelconque dans le « Fiorigin, fyftême des forces qui fe foûtiennent en équilibre ; F,une « de ces forces, qui pouffe ou qui tire le point P fuivant la « direction FP ou PF; Pp, une petite ligne droite que dé-« crit le point P par un petit mouvement, par lequel la tendance FP prend la fituation fp, qui fera ou exacte- « · ment parallele à FP, fi le petit mouvement du fyftême« fe fait en tous fes points parallelement à une droite donnée de pofitions où elle fera, étant prolongée, avec FP.« · un angle infiniment petit, fi le petit mouvement du fyftême le fait autour d'un point fixe. Tirez donc PC per-Fendiculaire fur fp, & vous aurez Cp pour la viteffe vir

[ocr errors]

V

FIG. 253. 25.4.

[ocr errors]

tuelle de la force F, en forte que FxCp fait ce que j'appel le Energie. Remarquez que Cp eft ou affirmatif ou negatif par rapport aux autres: il eft affirmatif, fi le point P eft pouffé par la force F, & que l'angle FPP foit obtus ; wil elt négatif, fi l'angle FPp eft aigu: mais au contraire fi le point Peit tiré, Cp fera négatif, lorfque l'angle FPp cft » obtus ; & affirmatif, lorfqu'il elt aigu. Tout cela étant bien entendu, je forme (dit M. Bernoulli) cette

[ocr errors]
[merged small][ocr errors]

PROPOSITION GENERALE.

THEOREME

XL.

En tout équilibre de forces quelconques, en quelque maniere qu'elles foient appliquées, & fuivant quelques directions qu'elles agiffent les unes fur les autres, ou médiatement, ou immédiatement, la fomme des Energies affirmatives fera égale à la fomme des Energies négatives prifes affirmative

» ment.

DEMONSTRATION.

Telle eft la propofition de M. Bernoulli, rapportée au commencement de cette Section ; & voici comment la Théorie précedente en fournit la démonftration.

PARTIE I.

Pour l'équilibre d'un poids foûtenu avec des cordes feulement, par tant de puiffances qu'on voudra, de directions quelconques & pour l'équilibre d'un corps choqué par plufieurs autres à la fois.

[ocr errors]

que

1. Toutes chofes demeurant ici les mêmes dans la Fig. 71. du Th. 6. Corol. 20. c'est-à-dire, le poids K étant foutenu en équilibre par tant de puiflances P, Q, R, S, T, &c. qu'on voudra, appliquées (comme lui) à autant de branches de corde, fur lefquelles branches ou cordons foient AB, AC, AE, AF, AM, &c. proportionnelles à ces puiffances P, Q, R, S, T, &c. des extrêmitez defquelles proportionnelles tombent autant de perpendicu

laires

οι

laires Bb, Cc, Ee, Ff, Mm, &c. fur la direction AK du poids K prolongée de part & d'autre : cela, dis-je, étant ainfi dans les Fig. 253.254. comme dans la Fig. 71. Th. 6. Corol. 20. foit prise de A vers K fur la direction AK du poids K, une partie quelconque Aa dans la Fig. 253, les puiffances P, Q, R, S, T, &c. tirent droit, fans s'appuyer fur rien, & infiniment petite dans la Fig. 25.4. Qu les cordons de ces puiffances font appuyez fur des poulies ·B, λ, &, O, μ, &c. Du point a, fur les directions AB, AC, AE, AF, AM, &c. de ces puiffances P, Q, R, S, T, &c. foient autant de perpendiculaires ap, aq, ar, af, at, &c. qui rencontrent ces directions en p, q, r, s, t, &c.

Cela fait, il eft vifible que les triangles ( constr.) rectangles Apa, AbB; Aqa, AcC; Ara, AcE; Afa, AfF; Ata, AmM, &c. ayant deux à deux (diftinguez comme on les voit ici par la marque ;) leurs angles égaux A, font femblables entr'eux pris ainfi deux à deux. Par confequent, en appellant b, c,e,f,m, &c. les forces fuivant la direction AK ou Ae du poids K, pour ou contre ce poids, réfultantes (Lem. 3. Corol, 6.) des forces abfolues des puiffances P, Q, R, S, T, &c. fuivant leurs directions AB, AC, AE, AF, AM, &c. l'on aura fuivant la part. 1. du. 3. employée comme dans la démonstr. 2.du Th. 6.

Leni. 3.

[blocks in formation]
« AnteriorContinuar »