exactement toutes deux. Comme, la raison d'une ligne de 4. pieds, à une de 6. est rationnelle; parce qu'une ligne de deux pieds les mesure exactement toutes deux : & lorf que cela arrive, ces quantitez ont méme raison qu'un nombre à un autre. Par exemple, parce que la ligne de deux pieds qui est la mesure commune, se trouve deux fois dans la ligne de 4. & trois fois dans celle de 6. la premiere à la seconde aura même raison que 2. à 3.

La raison irrationnelle est entre deux quantitez de méme genre qui font incommenfurables. Comme, la raison du côté d'un quarré à sa diagonale. Car on ne peut trouver aucune mefure, si petite qu'elle foit, qui les mesure toutes deux précisément : & pour lors ces lignes n'ont pas meme raison qu'un nombre a un autre nombre.

Quatre quantitez feront en même raifon, ou feront proportionnelles, quand la raison de la premiere à la seconde, sera la même, ou femblable à celle de la troisiéme à la quatrième ; de forte qu'à parler proprement, la proportion est une fimilitude de raisons. Mais on a de la peine à entendre en quoi consiste cette fimilitude de raiSons: c'est-à-dire, que deux rapports, ou relations fuient semblables. Car Euclide n'en a pas donné une définition juste, & qui en expliquât la nature, s'etant conten té de nous donner une marque par laquelle nous puissions connoître, si les quantitez avoient une même raison; & c'est l'obscurité de cette définition qui a rendu ce Livre difficile. Je tacherai de fuppléer à ce défaut.

6. Euclide dit, que quatre grandeurs ont même raison, lorsqu'ayant pris les Equimultiples de la premiere, & de la troisieme; & d'autres Equimultiples de la seconde, & de la quatriéme; quelque combinaison qu'on fasse, quand le multiple de la premiere, étant plus grand, que le multiple de la seconde; le multiple de la troifiéme est aussi plus grand, que le multiple de la quatriéme : & quand le multiple de la premiere est égal, ou plus petit que le multiple de la seconde, & que celui de la troifiéme est aussi égal ou plus petit que celui de la quatrième, alors il y a même raison de la premiere à la seconde, que de la troifiéme à la quatriéme.

A, B, C, D, Comme si on propose qua 2.4. 3. 6. tre grandeurs A, B, C, D, E,F,G,H, Ayant pris les Equimultiples de A&C, qui foient E 10.8 15 12 &G, quintuples, F&H, K, L, M, N, doubles de B & D. Pareil8.8.12.12. lement prenant K&M, O, P, Q, R, quadruples de A&C: L 6.16.9.24. N, doubles de B & D.

Prenant encore O & Q triples de A&C: P&R quadruples de B& D. Parce que E étant plus grand que F; Gest plus grand que H: &K étant égal à L; M est egal aN: Enfin O étant plus petit que PQ est plus petit que R. Alors A aura la méme raison a B, que Cà D.

Pour bien expliquer ce que c'est que Proportion, c'est-a-dire que quatre grandeurs Joient en meme raison: quoiqu'on puisse dire en géneral, que pour cela il faut que la premiere foit une semblable partie, ou un Semblable tout, eu égard à la secondes que la troisième, comparée à la quatrième : néanmoins parce que cette definition ne convient pas a la raison d'egalité, il en faur donner une plus génerale; & pour la rendre intelligible, il faut expliquer ce que c'est qu'une semblable partie aliquote.

Les semblables parties aliquores sont celles qui font autant de fois dans leur tout : comme trois, eu égard à neuf; deux, eu égard à fix, font des parties aliquotes femblables, parce que chacune se trouve trois fois dans son tout.

La premiere quantité aura même raison à la seconde, que la troisième à la quatriéme, si la premiere contient autant de fois quelques parties aliquotes que ce soit de la Seconde, que la troisième contient de fem

blables parties aliquotes de la quatriéme comme, fi A contient autant de fois une

centiéme, une milliéme, A, B, C, D. une cent milliéme partie de B: que C comient

une centiéme, une milliéme, ou une cent milliéme partie de D; & ainsi de toutes les autres parties aliquotes qu'on se peut imaginer; il y aura même raison de A, à B, que de Cà D.

7. Il y aura plus grande raison de la premiere quantité à la seconde, que de la troifiéme à la quatriéme : si la premiere contient plus de fois quelque partie aliquote de la feconde, que la troisiéme ne contient une semblable partie aliquote de la quatrième. Comme, 101. a plus grande raifon a 10: que 200. a 20.; parce que 101.contient cent & une fois la dixieme partie de 10. & 200. contient seulement cent fois la dixieme partie de 20. qui eft 2. 8. Les grandeurs ou quantitez qui font en même raison, s'appellent proportionelles.

9. La proportion ou analogie, est une fimilitude de raison ou de rapport. 10. La proportion doit avoir pour le moins trois termes. Car afin qu'il y ait fimilitude de raison, il faut qu'il y ait deux raisons: Or chaque raison ayant deux termes, l'antecedent & le confequent, il semble qu'il y en devroit avoir quatre 5 comme, quand nous disons, qu'il y a même raison de A à B, que de Cà D: mais le confequent de la premiere raison, pouvant être antecedent dans la seconde, trois termes peuvent fuffire; comme, quand je dis, qu'il y a même raison de A à B, que de B a C.

II. Les grandeurs sont continuellement proportionnelles, quand les termes d'entre-deux se prennent deux fois; c'eftà-dire, comme antecedent, & comme confequent. Comme s'il y a méme raison de A a B, que de Ba C, & de Ca D.

12. Pour lors, A à Caura la raison doublée de A à B: & la raison de A à D, sera triplée de celle de A à B.

Il faut remarquer qu'il y a bien de la difference entre raifon double, & raison. doublee. Nous disons que la raison de quatre à deux est double, c'est-à-dire que quatre est double de deux, de forte que le nombre deux est celui qui donne le nom a cette raison, ou plutót à l'antecedent de cette raifon. Ainsi nous disons double, triple, quadruple, quintuple, qui font des dénominations tirées de ces nombres deux, trois, quatre, cinq, comparés avec l'unité : car nous concevons mieux une raison, quand