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exactement toutes deux. Comme, la raison d'une ligne de 4. pieds, à une de 6. eft rationnelles parce qu'une ligne de deux pieds les mefure exactement toutes deux : & lorf que cela arrive, ces quantitez ont même raifon qu'un nombre à un autre. Par exem ple, parce que la ligne de deux pieds qui eft la mefure commune, fe trouve deux fois dans la ligne de 4.& trois fois dans celle de 6. la premiere à la feconde aura même raifon que 2. a 3.

La raifon irrationnelle eft entre deux quantitez de même genre qui font incommenfurables. Comme, la raifon du côté d'un quarré à fa diagonale. Car on ne peut trouver aucune mefure, fi petite qu'elle foit, qui les mefure toutes deux précifement: & pour lors ces lignes n'ont pas meme raison qu'un

nombre à un autre nombre.

Quatre quantitez feront en même raifon, ou feront proportionnelles, quand la raifon de la premiere à la feconde, fera la même, ou femblable à celle de la troifiéme à la quatrièmes de forte qu'à parler proprement, la proportion eft une fimilitude de raifons. Mais on a de la peine à entendre en quoi confifte cette fimilitude de raifons: c'est-à-dire, que deux rapports, relations fuient femblables. Car Euclide n'en a pas donné une définition jufte, &

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qui en expliquât la nature, s'etant conten té de nous donner une marque par laquelle nous puiffions connoitre, fi les quantitez avoient une même raison ; & c'est l'obscurité de cette définition qui a rendu ce Livre difficile. Je tacherai de fuppléer à ce défaut.

6. Euclide dit, que quatre grandeurs ont même raison, lorfqu'ayant pris les Equimultiples de la premiere, & de la troifiéme ; & d'autres Equimultiples de la feconde, & de la quatrième; quelque combinaison qu'on faffe, quand le multiple de la premiere, étant plus grand, que le mul tiple de la feconde; le multiple de la troifiéme eft auffi plus grand, que le multiple de la quatriéme : & quand le multiple de la premiere est égal, ou plus petit que le multiple de la feconde, & que celui de la troifiéme eft auffi égal ou plus petit que celui de la quatriéme, alors il y a même raifon de la premiere à la feconde, que de la troifiéme à la quatrième.

A,B,C,D,

2. 4. 3. 6.

Comme fi on propose qua

tre grandeurs A, B, C, D, E,F,G,Hples de A&C, qui foient E Ayant pris les Equimulti

10.8 15 12
K,L,M,N, doubles de B

D. Pareil&G, quintuples, F& H, 8.8.12.12. lement prenant K&M, O, P, Q, R, quadruples de A&C: L 6.16.9.24. N, doubles de B & D.

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Prenant encore O&Q triples de A & C : P&R quadruples de B& D. Parce que E étant plus grand que F; G eft plus grand que H&K étant égal à L; M eft egal àN: Enfin O étant plus petit que P;Q eft plus petit que R. Alors A aura la méme raifon à B , que Cà D.

Pour bien expliquer ce que c'est que Proportion, c'est-à-dire que quatre grandeurs foient en meme raison: quoiqu'on puisse dire en géneral, que pour cela il faut que la premiere foit une femblable partie, ou un femblable tout, eu egard à la feconde ; que la troifiéme, comparée à la quatrieme néanmoins parce que cette definition ne convient pas à la raison d'egalité, il en faur donner une plus generale; & pour la rendreintelligible, il faut expliquer ce que c'eft qu'une femblable partie aliquote.

Les femblables parties aliquotes font celles qui font autant de fois dans leur tout comme trois, eu égard à neuf; deux, eu égard à fix, font des parties aliquotes fem→ blables, parce que chacune fe trouve trois fois dans fon tout.

La premiere quantité aura même raifon à la feconde, que la troifiéme à la quatriéme, fi la premiere contient autant de fois. quelques parties aliquotes que ce foit de la feconde, que la troifiéme contient de fem

blables parties aliquotes de la quatriéme 3 comme, fi A contient autant de fois une centiéme, une milliéme

A, B, C, D. une cent milliéme partie de B: que C contient

une centiéme, une milliéme, ou une cent millieme partie de D; & ainfi de toutes les autres parties aliquotes qu'on fe peut imaginer; il y aura même raison de A‚àВ, que de Cà D.

7. Il y aura plus grande raifon de la premiere quantité à la feconde, que de la troifiéme à la quatriéme : fi la premiere contient plus de fois quelque partie aliquote de la feconde, que la troifiéme ne contient une semblable partie aliquote de la quatrième. Comme, 101. a plus grande raifon à 10: que 200. a 20.; parce que 101.contient cent & une fois la dixième partie de 10. 200. contient feulement cent fois la dixieme partie de 20. qui eft 2.

8. Les grandeurs ou quantitez qui font en même raifon, s'appellent proportionelles.

9. La proportion ou analogie, eft une fimilitude de raifon ou de rapport.

10. La proportion doit avoir pour le moins trois termes. Car afin qu'il y ait Similitude de raifon, il faut qu'il y ait deux raifons: Or chaque raifon ayant

deux termes, l'antecedent & le confequent il femble qu'il y en devroit avoir quatre s comme, quand nous difons, qu'il y a même raifon de A à B, que de Cà D: mais le confequent de la premiere raison, pouvant être antecedent dans la feconde, trois ter mes peuvent fuffire; comme, quand je dis, qu'il y a même raifon de A à B, que de B

a C.

II. Les grandeurs font continuellement proportionnelles, quand les termes d'entre-deux fe prennent deux fois; c'eftà-dire, comme antecedent, & comme confequent. Comme s'il y a méme raifon de A à B, que de B à C, ở de Ca D.

a

12. Pour lors, A à C aura la raison doublée de A à B: & la raifon de A à D, fera triplée de celle de A à B.

Il faut remarquer qu'il y a bien de la difference entre raifon double, & raison. doublee. Nous difons que la raifon de quatre à deux eft double, c'est-à-dire que quatre eft double de deux, de forte que le nombre deux eft celui qui donne le nom à cette raifon, ou plutót à l'antecedent de cette raifon. Ainfi nous difons double, triple, quadruple, quintuple, qui font des dénominations tirées de ces nombres deux, trois, quatre, cinq, comparés avec l'unité: car nous concevons mieux une raison, quand

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