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2. a 4.

ces termes font plus petits. Mais comme j'ai remarqué, ces dénominations tombent plutôt fur l'antecedent, que fur la raison même; nous appellons donc la raifon double, triple, quand l'antecedent eft double, ou triple du confequent: mais quand nous difons que la raifon eft doublée, nous enten→ dons que c'eft que c'est une raifon compofée de deux raifons femblables; comme s'il y a méme raifon de 2. a 4. que de 4. à 8. la raifon de 2. a 8. étant compofe, de la raison de &de celle de 4. à 8. qui font femblables, & comme égales; la raifon de 2. à 8. fera doublée de chacune. Pareillement 3. a 27. est une raifon double de celle de 3. a 9. La raifon de 2. à 4. s'appelle fousdouble, c'eft-a-dire que 2. eft la moitié de 4. mais la raifon de 2. a 8. eft doublée de la fous double; c'eft-a-dire, que 2. eft la moitié de la moitié de 8. comme 3. eft le tiers du tiers de 27. où vous voyez qu'on prend deux fois les dénominateurs. Pareillement 8. à 2. eft une raifon doublée de 8. à 4. parce que 8. eft double de mais 8. eft le double du double de 2. S'ily a quatre termes en même raifon continuée celle du premier au dernier eft triplée de celle du premier au fecond;comme fi on met ces quatre nombre 2.4. 8. 16. la raison de 2. à 16. eft triplée de celle de 2. à 4.car

4.

2. eft la moitie de la moitie de la moitié de 16. Comme la raifon de 16, à 2. eft triplée de celle de 16. à 8. car 16. étant le double de 8. il eft le double du double, du double de 2.

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13. Les grandeurs font homologues; les antecedens aux antecedens, les confequens aux confequens. Comme s'il y a méme raison de A a B, que de Cà D: A &C font homologues.

Les définitions fuivantes font les façons d'argumenter par proportion: & c'eft principalement pour les demontrer que ce Livre eft compof.

14. La raifon alterne, ou par échange, eft quand nous comparons les antecedens l'un avec l'autre ; comme auffi les confequens. Par exemple, fi de ce qu'il y a même raifon de Aa B, que de Ca D; je conclus qu'il y a même raifon de A à Ć, que de Bà D'; cette façon ne peut avoir lieu que quand les quatre termes font de même genres c'eft-a-dire, ou tous quatre des lignes ou des furfaces, ou des foides. Voyez la propofition 16.

15. La raifon converfe, eft une comparaifon des confequens aux antecedens. Comme fi de ce qu'il y a méme raifon de A à B, que de Cà D; je conclus qu'il y a même raifon de Bà A, que de Dà C,

Voyez le Corol. de la Propofition 16.

16. La compofition de raison, est une comparaifon de l'antecedent & du confequent pris enfemble, au feul confequent. Comme s'il y a même raifon de A a B, que de Cà D; je conclus qu'il y a auffi méme raifon de A & B, à B; que de C&D, à D. Propofition 18.

:

17. La divifion de raison, eft une comparaifon de l'excès de l'antecedent pardeffus le confequent, au même confequent Comme s'il y a même raifon de A & Bà B, que de C & D à D; je conclu's qu'il y a même raifon de A à B, que de Cà D. Prop. 17.

18. La converfion de raison, eft la comparaifon de l'antecedent, à la difference des termes. Comme s'il y a méme raifon de A & B à B, que de C& Dà D; je conclus qu'il y a même raifon de A & B à A, que de C & D à C. Prop. 18. 19. La Proportion d'égalité, est une comparaifon des quantitez extrêmes, en laiffant celles du milieu. Comme fi y ayant même raifon de A à B, que de Eà F;& de Bà C, que de Fà

A. B C. D.

E.F. G.H.

G;& de Cà D, que de G à H, je tire cette confequence; donc il y a méme raifon de Aa D, que de Ea H.

20. La Proportion d'égalité bien rangée, eft celle dans laquelle on compare les termes avec le même ordre, comme dans l'exemple precedent. Fropofition 22.

21. La proportion d'égalité mal rangée, eft celle dans laquelle on compare les termes avec un ordre different. Comme s'il y a méme raifon de A a B, que de G à H;& de Bà C, que de Fà G, & de C à D, que de E à Fsje tire cette conclusion: Donc il y a méme raifon de A à D, que de E a H. Propofition 23.

Voici toutes les façons d'argumenter par proportion.

1. S'il y a mêmeraifon de A à B, que de Cà D; donc par la raifon alterne, il y au ra méme raifon de A a C, que de Ba D. 2. Et par la raifon converfe, il y aura même raifon de Ba A, que de D à C

3. Et par compofition, il y a même rai fon de A & B a B, que de C&D a D. 4. Par la divifion de raifon, s'il y a mê mê raifin de A ở Bà B, quede Cơ Đà D; il y aura même raifon de A a B, que

de Ca D.

5. Et par converfion, il y aura mêmerai fon de A & B à A, que de C& D à C.

6. Par la raifon d'égalité rangée, s'il y a même raifon de A a B, que de Cà Di & auffi méme raison de Bà E, que de D

à F, il y aura méme raison de A à E, que de Cà F.

7. Par la raifon d'égalité mal rangée s'il y a méme raifon de A à B, que de D à F,& auffi même raifon de Bà E › que de Ca Ds il y aura méme raifon de A à E, que de Cà F.

,

Ce Livre contient vingt-cinq Propofi tions d'Euclide, aufquelles on en a ajouté neuf, qui font reçues. Les fix premieres de ce Livre ne font utiles que pour prouver les fuivantes par la méthode des équimultiples: & comme je né me fervirai pas de cette méthode, je commencerai par la feptiéme, fans changer l'ordre ni le nombre des Propofitions.

Les Demandes ou Suppofuions.

Trois quantitez A, B, C, étant propo fées, on veut qu'on accorde qu'il y a une quatriéme quantité poffible, à laquelle la quantité C ait même raison que la quan tité A à B,

PRO

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