= u; c'est pourquoi soit prolongée IB du côté de B, qui rencontrera ST en V, & ayant fait VY=c=¦IP, soit menée Sr, & du point M la ligne MX parallele à IB, qui rencontrera ST en X, & SY en z, & ZX sera : 24 tant MZ (u) =y+1b-, & BY = b, , & alors les lignes SQ & Sr feront les asymptotes; & par conféquent SZ & ZM, les coordonnées. Il n'est pas cependant necessaire de faire évanouir l'expreffion de SX = z de l'équation réduite, pour introduire en sa place celle de SZ: car 1o. Soit qu'on le fasse ou non, on trouvera par le moyen de l'équation réduite, que l'Hyperbole doit toujours passer par le même point: comme en ce cas, où l'équation réduite estab = uz; le terme connu ab a=BY - ac= I 6 ac a = BY × SV, fait connoître (Art. 14. no. 12.) ر que l'Hyperbole doit passer par le point B; & fi l'on nomme SV,d; & SZ, S; pour introduire l'expression Sz dans l'équation réduite en la place de celle de SA, l'on aura à cause des triangles semblables SVY, SXZ, SV. SY :: SX. Sz, ou en termes algebriques a. d :: z. s, d'où l'on tire z=1, & mettant dans l'équation réduite 8 I af 2d ac = uz, en la place de z sa valeur, l'on aura I -bd-cd=fu, dont le terme connu 2 1 2 4 I 4 =_b__cx d = BY × SY, montre comme ravant, que l'Hyperbole doit passer par le point B. Ce que l'on connoît aussi par l'équation à réduire aab + aay ; car faisant x = a, afin que le point M tombe en B, l'on aura aab+aay - aab Laay aac, d'où l'on tire y = 0 ○; d'où il fuit que l'Hyperbole passe par le point B, puisque BI s'y anéantit. = aac 2o. Le rectangle SV × BY, ou RB × BY étant égal à se * SX, le rectangle SY × BY sera (Art. 14. n°. 6.) égal au rectangle SQ × SZ; d'où l'on voit qu'il est en quelque façon plus simple de réduire ces fortes d'équations aux asymptotes de l'Hyperbole que de les réduire aux_diametres. Sí donc l'on décrit par le point B entre les asymptotes SQ, Sr l'Hyperbole BM, elle fatisfera au Problême. DEMONSTRATION. AYANT mené d'un point quelconque M pris sur l'Hyperbole la droite MZX parallele à OS; par la proprieté llele à de l'Hyperbole (Art. 14. no. 6.), l'on a SV × BY=SY abx = 2axy = aay, en remettant pour u & pour z, leurs valeurs. C. Q.F.D. 5.SI les paralleles AF, BI étoient perpendiculaires à DE, les points P & N se confondroient avec le point 1, & IP = c deviendroit nulle ou = 0; c'est pourquoi il faudroit effacer tous les termes où c se trouve dans - acx = - l'équation à réduire aab + cxx abx 2axy aay, & l'on auroit, ab-bx = 2xy - ay, que l'on conftruiroit comme celle du premier Problême de cet article. COROLLAIRE I I. = b de 6. SI outre cela le point A tomboit en K, AL viendroit nulle, & l'on auroit x = a, en effaçant tous les termes où b se rencontre dans l'équation ab 2 bx = 2xy - ay, & le point M se trouveroit dans la ligne droite RQ menée par le milieu de KB parallele à IB. 7. LEs choses étant supposées comme dans l'énoncé du Problême n°. 4. Si 2AL=IP, ou 26 = c dans 1 l'équation réduite ab - ac = zu, l'on aura I 8 4 8 ac, & partant zu = 0; d'où il suit qu'en ce cas l'Hyperbole se confond avec ses asymptotes, & que par confequent le point M se trouvera dans la ligne RQ qui est une des asymptotes. En effet en ce cas l'équation à réduire devient aab + 2bxx 3abx-2axy + aay = 0, en mettant 26 en la place de c, qui étant divisée par 2x a = 0, il vient bx ab-ay = 0, & l'équation 2x -a=0, I ○, donne x = a, qui montre que le point 2 M se trouve dans la ligne RO menée par le milieu de LB parallele à AL. COROLLAIRE IV. 8. ENFIN fi 2AL est moindre que IP, ou que le point A, se confonde avec le point K, ou qu'il se trouve au dessous de K, l'Hyperbole se trouvera de l'autre côté de RQ, & passera par le point A : car dans l'équation premier cas, ab sera nulle ou = o dans le second; & 4 dans le troisiệme, 6 deviendra negative de positive qu'elle gative, & partant l'Hyperbole se trouvera de l'autre côté de RQ. ८ REMARQUES. 9. LORSQU'ON veut réduire ces fortes d'équations à l'Hyperbole par raport à ses asymptotes il faut observer rs. Que si la lettre inconnue qui n'est point quarrée dans l'équation, se trouve multipliée par une quantité connue dans quelqu'un de ses termes, autre que dans celui où elle se trouve multipliée par l'inconnue qui est quarrée, il faut mettre tous les termes où l'inconnue qui n'est point quarrée se trouve dans un des membres de l'équation, & tous les autres termes dans l'autre, & faire la premiere réduction fur le membre où l'inconnue qui n'est point quarrée se trouve. 20. Dans la seconde réduction (qui feroit la seule, fi la lettre inconnue qui n'est point quarrée ne se trouvoit point seule dans quelque terme de l'équation) la lettre inconnue qui n'est point quarrée doit toujours être positive. 3. Dans l'une & l'autre réduction, l'inconnue qui n'est point quarrée, doit toujours être délivrée de toute quantité connue. 4o. Quand on ne veut point se donner la peine de faire toutes ces réflexions, il n'y a qu'à réduire ces équations à l'Hyperbole, en les regardant par raport à ses diametres, où il n'y a aucune précaution à prendre. Il faut éclaircir ceci par un exemple. qui est celle que l'on vient de construire. Si on suppose que le point A tombe en K, AL = b deviendra nulle ou = 0; c'est pourquoi en effaçant tous les termes où b se propose de réduire à l'Hyperbole par raport à ses asym : protes, & dont les termes font disposez dans l'un & l'autre membre de l'équation selon ce qui est dit dans le premier cas de la remarque précédente. I Faisant donc x-a=z, l'on réduira l'équation à celle - ci czz 2ayz= aac, ou 一呎= ac. Il faudroit pour faire la seconde réduction prendre-y = u; mais parceque l'inconnue y qui n'est point quarrée dans l'équation à réduire se trouve négative dans cette seconde réduction, & qu'elle y doit être positive, les réductions que l'on vient de faire ne serviront de rien. Il faut donc changer les signes de tous les termes de l'é 24 14 quation pour la réduire de nouveau, & l'on aura |