A

LIVRE SECOND.

De l'Ellipse.

DEFINITIONS.

I.

YANT attaché fur un plan les deux bouts d'un fil F1 G. 16. FMf, en deux points F, f, dont la diftance Ff foit moindre que la longueur du fil, on fe fervira d'un ftile M, pour tenir ce fil toûjours tendu; & conduifant ce ftile autour de ces deux points, en forte qu'il revienne au même point d'où il étoit parti: ce ftile décrira dans ce mouvement, une ligne courbe, qui fera nommée Ellipse.

2.

Les deux points fixes F, f, font nommés les deux Foyers,

3.

La ligne Aa, qui paffe par les deux Foyers F, f, & qui eft terminée de part & d'autre par l'Ellipfe, eft appellée le premier ou le grand Axe.

4.

Le point C, qui divise par le milieu le premier Axe Aa, eft nommé le Centre de l'Ellipfe.

5.

La ligne Bb, menée par le Centre C, perpendiculairement au premier Axe Aa, & terminée de part & d'autre par l'Ellipfe, eft appellée le fecond ou le petit Axe.

6.

Les deux Axes Aa, Bb, font appellez enfemble, Conjugués de forte que le premier Axe Aa, eft dit conjugué au fecond Bb; & réciproquement le fecond Bb, conjugué au premier Aa,

7.

Les lignes MP, MK, menées des points M de l'EL lipfe parallelement à l'un des Axes, & terminées par

FIG. 17.

FIG. 16.

l'autre, font appellées Ordonnées à cet autre Axe: ainsi M P eft Ordonnée à l'Axe Aa, & MK à l'Axe Bb.

8.

La troifiéme proportionnelle aux deux Axes, eft appellée Parametre de celui qui eft le premier terme de la proportion. Ainfi fi l'on fait comme le premier Axe Aa, eft au fecond Axe Bb, de même le fecond Bb, à une troifiéme proportionnelle p; cette ligne p sera lë Parametre du premier Axe.

9.

Toutes les lignes droites qui paffent par le centre C, & qui font terminées de part & d'autre par l'Ellipfe, font appellées Diametres.

IO.

Une ligne droite qui ne rencontre l'Ellipfe qu'en un feul point, & qui étant continuée de part & d'autre, n'entre point dedans, mais tombe au dehors, eft appellée Tangente en ce point.

REMARQUE.

31. Si l'on conçoit que les deux foyers F, f, & le centre C fe réüniffent en un feul point; il eft vifible que l'Ellipfe fe changera alors en un Cercle qui aura pour rayon la droite CM, égale à la moitié de la corde CMC, attachée par ces deux bouts au point C, qui en fera le centre. On pourra donc confidérer un cercle comme une efpece particulière d'Ellipfe, dans laquelle la diftance des foyers eft nulle; de forte que tout ce qu'on démontrera dans la fuite de l'Ellipfe, telle que puiffe être la distance de ces deux foyers, se peut auffi appliquer au cercle, en fuppofant que cette distance devienne nulle.

COROLLAIRE I.

32.IL fuit de la définition premiere, que fi l'on mene d'un point quelconque M de l'Ellipfe, aux deux foyers F, f, les droites MF, Mf; leur fomme fera toûjours la même.

COROLLAIRE II.

33. LORSQUE le point M tombe en A, il eft vifible que MF devient AF, & que Mf devient Af: de même lorsque le point M tombe en a, il est encore vifible que M F devient a F, & que Mƒ devient af. On aura donc AFAƒ, ou 2AF+Ff=a Faf, ou 2affF; & partant AF af. D'où il fuit:

1°. Que la fomme des deux droites MF, Mf, est toûjours égale au premier axe Aa, puifque Mf→MF =Af→AF=Affa.

2°. Que la distance Ff des foyers, eft divisée en deux parties égales par le centre C, puifque CA-AF ou CF Ca-af ou Cf.

COROLLAIRE III. 34. Si de l'extremité B du fecond axe Bb, l'on mene aux deux foyers F, f, les droites BF, Bf; il eft clair que les triangles rectangles BCF, BCf, feront égaux; & qu'ainfi l'hypothenule BF, est égale à l'autre hypothenufe Bf: & par confequent BF, ou Bf CA ou Ca, puifque BF÷Bf Aa. On prouve de même * Art. 33. que Fb ou bf CA ou Ca. D'où l'on voit:

*

1°. Que le fecond axe Bb, eft divifé en deux parties égales par le centre C; car les triangles rectangles FCB, FCb feront égaux, puifqu'ils ont des hypothenuses égales F B, Fb, & le côté FC commun.

2°. Que le fecond axe Bb, eft toûjours moindre que le premier A as puifque fa moitié BC étant l'un des côtez du triangle rectangle BCF, fera moindre que fon hypothenufe BF, qui est égale à la moitié CA du pre

mier axe Aa.

3°. Que fi l'on décrit de l'une des extremitez B du petit ou fecond axe Bb comme centre, & du rayon BF égal à CA, moitié du premier ou grand axe Aa, un cercle; il coupera ce grand axe en deux points F, f, qui feront les deux foyers de l'Ellipfe.