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Mais parceque deux équations à la Parabole étant combinées par addition ou foustraction, peuvent toujours donner une équation au cercle, attendu que l'équation à la Parabole ne renferme qu'un quarré inconnu qui peut toujours être délivré de toute quantité connue; il fuit qu'on peut conftruire ce Problême par le moyen de l'une des deux équations précédentes, & de l'équation au cercle qui réfulte de la combinaison des deux mêmes équations par addition, qui eft ay + bx=xx + yy.

Et parceque les deux premieres équations ay = xx, & bx=yy font également fimples, on peut indifféremment fe fervir de celle qu'on voudra. Prenons donc la premiere ay xx. Pour la conftruire, foit A l'origine des inconnues x qui va vers H, &y, qui va vers G perpendiculaire à AG; le même point A fera auffi le fommet de l'axe AG, de la Parabole qu'il faut décrire, puifque l'équation ay =xx, n'a pas befoin de réduction; il n'y a donc qu'à décrire (Art. 10. n°. 11.) fur l'axe AG une Parabole dont le parametre foit la ligne donnée KL=a. Pour conftruire préfentement l'équation au cercle ay + bx foit fait pour la réduire y — 1⁄2 a =

a=u,

= xx+yy ; & x − 1 b=z; & l'on aura l'équation réduite aa+ uu=2, qui avec les réductions donne cette con

bb ftruction.

=

Le point A étant toujours l'origine des inconnues y & x; à cause de la premiere réduction y — 1⁄2 a — u, l'on prendra AC = a = KL, & ayant mené CO parallele à AD; à cause de la feconde réduction x — b=z, on prendra fur CO, CE=≥ b MN, & le point E fera l'origine des inconnues z, qui va vers 0, & u, parallele à AG, & le centre du cercle qu'il faut décrire: mais √ 1 aa + 1 bb, qui est la racine du terme connu de l'équation réduite, eft le demi diametre du même cercle; c'est pourquoi fi du centre E par A on décrit un cercle,

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il coupera la Parabole en un point Q, par où ayant mené QP parallele AH; PQ & PA feront les deux moyennes proportionnelles qu'il faloit trouver.

DEMONSTRATION.

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=

=

=

IL eft clair que le cercle coupe AG & AH en I & en
D, de maniere que AI 2AC KL a,& AD=
2CE MN=b. Ainfi PI = PA-AI=y—a, &
PFAD
PQ = b - - x. Or par la propriété du
cercle AP × PI = PQ × PF, ou en termes algebriques,
yy—ay = bx -xx, ouyy-bx=ay-xx:: mais (Art.
io) ayxx; donc yy bxo,
=0, ou yy=bx. Or ay=
xx donne AI, ou KL. PQ :: PQ.PA,&yy= bx donne
PQ.PA: PA. AD, ou MN, donc KL, PQ,PA,&
MÑ font continuellement proportionnelles. C. Q. F. D.

4.

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EXEMPLE IV.

Problême Solide.

UNE courbe AM, dont l'axe eft AP, fon fommet A, FIG. 99. & un point D au-dedans ou au-dehors de cette courbe, étant donnez de pofition fur un Plan, il faut mener du point Dane ligne droite DMC, qui coupe la courbe AM, ou fa tangente au point Mà angles droits.

&

Ayant fuppofé le Problême réfolu, foient menées les droites D B & MP perpendiculaires à AC; du point M la droite ME parallèle à AC, qui rencontrera DB en E; par le point M la tangente MT. Nommant préfentement les données AB, b; DB, c; & les indéterminées AP, x; PM, y; & PT, t; BP ou ME fera b + x, fi le point B eft hors de la courbe, & DE, c—y.

Langle CMT étant droit par l'Hypothese, les triangles MPT, CPM & MED seront semblables; c'est pourquoi l'on aura y (MP) . t ( PT ) :: x + b (EM). c—y (ED); donc cy cy — yy = tx + bt, qui est une équation générale pour toutes les courbes AM, & que l'on déterminera à

telle courbe que l'on voudra, en y fubftituant en la place det, l'expreffion de la foutangente PT.

=

pour

Si l'on veut par exemple que la courbe AM foit une Parabole; PT sera (Art. 11. no. 6.) ⇒ 2x=t; c'est quoi en mettant pour fa valeur 2x, l'on aura cy-yy = 2xx + 2bx, qui eft une équation à l'Ellipfe; & nom mant le parametre de la Parabole a, l'on aura (Art. 10.) ax=yy, qui eft l'équation à la Parabole AM.

Si l'on fait évanouir x, l'on aura une équation du troifiême degré, qui ne peut être réduite; & par conféquent le Probleme propofé eft folide. Mais lorsqu'on a une équation à la Parabole, & une à l'Ellipfe, ou à l'Hyperbole par raport à fes diametres où les inconnues ne fe multiplient point, on peut toujours par leur moyen trouver une équation au cercle en cette forte.

Après avoir délivré dans l'équation à l'Ellipfe, ou à l'Hyperbole, le quarré de l'inconnue qui n'eft point quarrée dans l'équation à la Parabole, de toute quantité connue, l'on fera évanouir le quarré de l'autre inconnue, & l'équation qui en refultera sera une équation à la Parabole, qui étant combinée avec la premiere par addition, ou soustraction, donnera une équation au cercle. Ainfi en divifant par 2 l'équation précédente cy—yy = 2xx+2bx, l'on a cy-yyxx+ bx, & mettant pour yy fa valeur ax, prise dans l'équation à la Parabole ax = yy; l'on aura cy- 1⁄2 ax = xx + bx, qui eft une autre équation à la Parabole; & en combinant par addition ces deux équations à la Parabole, l'on aura cy-ax → ax = xx + bx + yy, ou cy+ ax = xx + bx +yy's 1⁄2 1⁄2 qui eft une équation au cercle.

Quoique l'on pût conftruire le Problême par le moyen de l'équation au cercle, & de la feconde équation à la Parabole; il est néanmoins à propos de fe fervir de la premiere ax=yy, parcequ'elle appartient à la Parabole don

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