OI parallele à ces mêmes directions ; il faut pour que ces. GH HR KL M N› tr'elles, mais encore que leurs numerateurs EF, FG,. Lorfqu'on a parlé ci-deffus de courbures quelconques ACDP QB, données ou non, de la corde ACB; il eft visible qu'on n'y a compris que des courlurcs telles que des puiffances ou des poids qui lui feroient appliquez, lui pourroient donner i & confequemment toutes convexes du coté vers lequel tendent le's poids ou les puissances qui la tirent en méme sens. THEOREME XI.. Soit encore une corde lâche parfaitement flexible ACDP QB, attachée par fes extrémitez à deux clous ou crochets A, B, laquelle foit tirée en C, D, P, Q, &c. par tant de puiffances K, L, M, N, &c. qu'on voudra, en équilibre entr'elles fuivant des directions quelconques EK, FL, GM, HN, &c. je dis qu'en ce cas d'équilibre la résistance du clow A fera toûjours à celle du clou B, comme le produit des finus des angles faits du côté de B par ces directions avec la corde ACDPQB, fera au produit des finus de ce qu'elles font d'autres angles. avec cette corde du coté de 4. DEMONSTRATION. Soient e, f, g, &c. les forces de tenfions dont les par-ties intermediaires CD, DP, PQ, &c. de la corde font. tirées fuivant leurs longueurs par le concours des puiffances K, L, M, N, &c. foient auffi A, B, les réfiftances leur font les clous de ces noms. Soit enfin la cara&teristique ou la marque des finus des angles que les directions des puiffances font avec la corde qu'elles cour-bent en polygone quelconque ACDPQB. que Donc (en multipliant par ordre) A: B:: SECD×/FDPx SGPQx/HQBx &c. SECA×/FDC×sGPD×sHQP× &c. Ce qu'il falloit démontrer. COROLLAIRE I. I fuit de-là que fi les directions EK, FL, GM, HN,&c. des puiffances K, L, M, N, &c. divifent chacune en deux également chacun des angles ACD, CDP, DPQ, PQB, &c. de la corde, au travers defquels ces directions paffent ; cette corde fera bandée par tout d'é ale force dans toute fa longueur ACDPQB; & les réfiftances A, B, des clous de ces noms, feront égales entr'elles ; c'està-dire, qu'alors on aura Afg=B=&c. Car cette égalité d'angles en chacun des points C, D, P, Q, rendant (ECDECA, FDP /FDC, SGPQ=GPD,HQB SHOP, rendra auffi (fuivant les premieres analogies de la démonstration précedente) Ae, ef, fg, g-B, &c. Et par confequent A==f=g=B=&c.ainfi qu'on le vient de dire. COROLLAIRE II. Si au contraire les directions EK, FL, GM, HN, &c. des puiflances K, L, M, N, &c. font toutes paralleles entr'elles ; les réfiftances A, B, des clous de ces noms, feront en raifon reciproque des finus des angles ECA, HQB, que leurs cordons feront avec les directions EK, HN, des puiffances K, N, qui leur font plus voisines; c'est-à-dire, qu'alors on aura A. B:: (HQB. SECA. Puisque ce parallelifme rendant/ECD=/FDC/FDP=/GPD, fGPQ=sHQP, &c. l'analogie conclue dans la démonAtration précedente, doit fe réduire ici à A. B:: [HQB. SECA. THEOREME XII. Soit encore la corde lâche & parfaitement flexible ACPB attachée par fes extrêmitez à deux clous ou crochets A, B, & bandée en polygone quelconque ACDP QB par tant & telles puissances K, L, M, N, &c. qu'on voudra, appliquées fuivant telles directions CK, DL, PM, QN, &c. qu'on voudra auffi, aux angles ou points C, D, P, Q, &c. de la corde que ces puissances en équilibre entr'elles difpofent ainsi en polygone ACDPQB. Soient R, S, T, &c. les points ou les côtez prolongez PD, QP, BQ, &c. de ce polygone rencontrent fon premier côté AC prolongé. Soient E le point où les directions KC, LD, prolongées fe rencontrent; F celui où RĘ, MP, prolongées fe rencontrent auffi G, un pareil point de rencontre entr'elles de SF, N2, prolongées de meme, &c. Cela pofé, je dis, I. Que fi Neft (comme ici) la derniere des puissances fuppofées, la droite GT fera leur direction commune, c'est-à-dire (Déf. 7.) la direction de l'effort refultant du concours de tou¿tes ces puissances K, L, M, N,contre les clous A, B. II. Que cet effort commun fera aux réfiftances de ces clous A, B, comme le finus de l'angle total ATB aux finus des angles partiaux GTB, GTA. DEMONSTRATION. PART. I. Les Corol. 19. & 20. du Lem. 3. font voir que l'effort résultant du concours des puiffances K, L, eft dirigé fuivant ER ou FR; que le résultant du concours de celui-ci & de la puiffance M, eft dirigé fuivant FS ou GS ; que le réfultant de celui-ci & de la puiffance N eft dirigé suivant GT; & toujours de même. Donc s'il n'y a (comme ici) que les quatre puiffances K, L, M, N, l'effort réfultant de leur concours total d'action contre les clous A, B, aura fa direction fuivant GT. Ce qu'il falloit 1. démontrer. PART. II. Donc toutes ces puiffances K, L, M, N, ne font ensemble contre les clous A, B , que comme unefeule égale à l'effort résultant de leur concours, laquelle appliquée en T fuivant la direction GT de cet effort, à une corde ATB, feroit foûtenue par ces deux clous A, B.Or (Th. 1. Corol. 4.) cette nouvelle puiffance fuivant GT, feroit alors aux résistances de ces mêmes clous A, B, comme le finus de l'angle ATB aux finus des angles GTB, GTA. Donc l'effort résultant du concours d'action de toutes les puiffances K, L, M, N, contre les clous A, B, eft ici aux résistances de ces clous, comme le finus de l'angle total ATB eft aux finus des angles partiaux GTB, GTA. Ce qu'il falloit 20. demontrer. COROLLAIRE I. Donc en general (part. 1. 2.) fi l'on prolonge le pre mier AC, & le ernier BQ, des côtez du polygone funiculaire fuppofé ACDPQB, jufqu'à ce qu'ils fe rencontrent en quelque point T, & qu'on divife leur angle ATB en deux autres GTA, GTB, dont les finus foient en raifon reciproque des réfiftances des clous A, B, trouvées dans le Th. 11.c'est-à-dire, en deux autres angles GTA,GTB, tels que le finus partial GTB foit au finus de l'autre partal GTA, comme la réfiftance du clou A eft à celle du clou B; la droite GT qui divifera ainfi l'angle total ATB, fera la direction de l'effort résultant du concours des puiffances K, L, M, N, lequel effort (Th. 1. Cor. 4.) fera à chacune de ces réfistances des clous A,B, comme le finus de cet angle total à chacun des finus des angles partiaux GTB, GTA: de forte que fi l'on appelle A, B., ces réfiftances des clous de ces noms, & qu'on prenne pour la marque des finus, l'un aura toûjours ici A. B:: GTB. GTA. Donc, 1o. Les résistances A, B, des clous ou crochets de ces noms étant trouvées fuivant le Th. 11. fi depuis T fur leurs directions TA, TB, on prend TV. TX:: A. B. & que de ces côtez TV, TX, on faffe le parallelogramme VXG, l'on aura.fa diagonale GT pour la direction commune de toutes les puiffances K, L, M, N, c'est-àdire, de la force résultante de leur concours: puis on aura pour lors A. B:: TV. TX (Lemme 8. Corol. 2.) :: STGV. GTA:: GTB. GTA. Ce que le nomb. 2. du Corol. 1. du Lem. 3. fait auffi voir. 2o. Reciproquement la direction commune GT des puiffances K, L, M, N, c'eft-à-dire, de la force ( que j'appelle T ) résultante de leur concours, étant trouvée fuivant le prefent Th. 12. le parallelogramme TVGX d'une diagonale GT prife à volonté fur cette direction commune, & des côtez TV, TX, placez fur les directions TA, TB, des réfistances A, B, donnera de même (Lem. 3. Corol. 1.nomb. 2.) VT, GT,XT, en raison de A, T, B; & confequemment A. B:: TV. TX (nomb. 2.) -:sGTB. fGTĄ. M. Bernoulli a trouvé la précedente direction commune GT L'une autre maniere dans fon Effay de la Manoeuvre des Vaiffeaux, chap. 15. prop. 3. où il l'appelle Direction moyenne. COROLLAIRE II. On vient de voir dans le Corol. 1. du Th. 11. que lorfque les directions EK, EL, FM, GN, des puiffances K, L, M, N, divifent chacune en deux parties égales chacun |