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ab:

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& fubftituant cette valeur de ab

dans la feconde & troisième, l'on aura aprés les réductions xy +2aacy =y3x+2aacx,& x3z + 2aacz=23x — 2aacx, d'où l'on tire 2aac = xyy + xxy, & 2adc=xzz— *x༢; donc yy+xy=zz—xz, d'où l'on tire x=༢༢ 7, donc x+y=2. C. Q.F.D.

On démontreroit de même que, fi le cercle coupoit la parabole en quatre points, les ordonnées qui partiroient des points d'Interfection d'un côté de l'axe feroient ensemble égales aux ordonnées qui partiroient des points d'Intersection de l'autre côté de l'axe. Soit qu'il en eût deux d'un coté, & deux de l'autre, ou trois d'un côté, & une de l'autre.

Ce feroit encore la même chofe, fi le cercle touchoit la parabole d'un côté de l'axe, & la coupoit en deux points de l'autre côté: car le point touchant doit être regardé comme deux points d'Interfection infiniment proches. Ainsi, le double de l'ordonnée qui partiroit du point touchant, feroit égal à la fomme des deux ordonnées qui partiroient des deux points d'Intersection qui feroient de l'autre côté de l'axe.

OIT

É XEMPLE III

Problême Solide.

11. Soit encore le Problême propofé dans la Section précedente, Exemple 5, où l'on a trouvé ces deux équations xx aa- 2by — bb, & yy⇒ax+ xx.

l'on aura

Si l'on fait évanouiry, 'A. x1 — 2aaxx + 4abbx+a+,

2bbxx

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zaabb=0

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Si au lieu de faire évanouiry, l'on fait évanouir x, l'on

aura.

B. y*+ 4by3 +6bbyy +4b3y +b+ =0.

—2aayy―zaaby - aabb

d'où faifant évanouir le fecond terme, en faisant y+b

= ༢,

l'on aura

C. 2+-zaazz+2aabz — aabb = 0.

Et comme cette équation eft plus fimple que l'équation A, il vaut mieux s'en fervir pour conftruire le Problême, que de l'équation A. Faifant donc

:༢༨,

D. au=zz, l'on aura aauu, & mettant les valeurs de zz & de 2+ dans l'équation C, l'on aura aprés avoir divifé par aa,

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E. uu — 2au → 2bz — bbo, qui eft une équation à la
Parabole.

Si l'on ajoute le fecond membre de l'équation D au premier de l'équation E; & le premier au fecond, l'on ·2au+zz+2bz — bb

aura un

au, ou

F. uu→ 3au+z+2bz—bb = 0, qui eft une équation au cercle.

Si l'on réduit l'équation F, & qu'on la conftruise avec FIG. 93. l'équation D. En prenant le point K pour l'origine des inconnues a qui va vers S, & qui lui eft perpendiculaire, & va en haut, on retombera dans la construction de la Section précedente no. 5.

DEMONSTRATION.

PAR la conftruction du Problême 5 (Sect.prec. ) KZ, ou
HP=x+a; & LM =y+b; & par cette conftruc-
tion KL=s, & LM=2=y+b; mettant donc dans
ces deux équations D & F pour u, fa valeur xa, &
pour z fa valeur y + b, l'on aura ces deux équations.
G. aa+ax=yy+ 2by — bb, &

H. xx=aa—2by-bb, qui eft la premiere équation de l'exemples, Sect. prec. & en ajoutant les deux équa tions G & H,le premier membre au premier, & le fecond au fecond, l'on aura, aprés les réductions,

K. xx÷ax=yy, qui eft la seconde équation du même
Exemple. C. Q.F.D.

REMARQUE.

93.

12. PAR le moyen de cette conftruction, l'on ne FIG. 92. détermine que la grandeur du côté CBPM, au lieu que par la conftruction de la Section précedente, l'on a auffi déterminé la grandeur de CEAP, d'où l'on voit que lorfqu'on conftruit un Problême folide par le moyen de fon équation déterminée, il n'eft pas entierement résolu. Il faut encore pour cela réfoudre & conAtruire un autre Problême fimple ou Plan; aulieu que lorfqu'on le conftruit par le moyen de fes deux équations indéterminées, il est entierement réfolu: car les valeurs des deux inconnues fe trouvent toujours déterminées.

Ainfi pour achever de réfoudre le Problême, en fuppofant qu'on n'a déterminé que le côté CB par la conAtruction précedente. Soit encore CE nommé x; & BD, c; l'on aura par la proprieté du triangle rectangle x → a

( CD ) . c ( BD) :: c. a ( DE ), d'où l'on tire x

bb

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a, qui fervira à déterminer la grandeur CE, & le Problême fera entierement réfolu.

13. I

REMARQUES GENERALES
Sur la conftruction des Problèmes Solides.

L
E s constructions du deuxième & cinquième exem-
ples de la Section précedente, comparées avec les con-
ftructions du fecond & du troifiéme de cette Section ;
font voir qu'il eft plus à propos de conftruire les Pro-
blêmes folides avec deux équations indéterminées, qu'a-
vec une équation déterminée, lorfqu'on le peut. Or
on le peut toujours lorfque l'une des équations indéter-
mihées le rapporte au cercle, ou bien lorfque les deux
lettres inconnues ne fe multiplient point dans les deux
mêmes équations indéterminées : car en ce cas on trou-
vera toujours une équation au cercle, comme on a fait
dans cet exemple.

1

On voit aufli qu'il n'eft pas abfolument neceffaire que les deux lettres inconnues ayent les qualitez marquées dans la premiere Obfervation de l'article 4. On peut même le placer de differentes manieres, & chercher à chaque fois deux équations : car on trouve fou vent des équations plus fimples en les plaçant d'une maniere, qu'en les plaçant d'une autre.

14. Quoiqu'on n'ait employé dans cette Section que le cercle & la parabole pour la conftruction des Problèmes folides, cela n'empêche pas qu'on ne puiffe les conftruire avec celle qu'on voudra des Sections coniques : car on peut tirer d'une équation déterminée du troifiéme & du quatrième degré des équations à l'Ellipfe, & à l'Hyperbole comme on en a tiré une équation au cercle, avec cette difference feule qu'on ne peut tirer d'une équation du quatrième degré, une équation à l'Hyperbole par rapport à fes afymptotes, & qu'on la peut tirer d'une équation du troifiéme.

Soit par exemple A. x3-3aax tion de l'exemple 2.

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aab, qui eft l'équa

En fuppofant B. ay = xx, = xx, & mettant en la place de xx fa valeur ay, l'on aura C. xy=zax —b, qui eft une équation à l'Hyperbole par rapport à fes afymptotes, Et multipliant l'équation C par x, & mettant enfuite pour xx, fa valeur ay dans le premier terme, l'on aura D. yy =3xx bx, qui eft une équation à l'Hyperbole par rapport à ses diametres, comme celle de l'art. 14 n°13; & mettant encore pour xx fa valeur ay dans l'équation D; il viendra E. yy =3ay—bx, qui eft une équation à la parabole. En ajoutant les deux membres des deux équations B & E, le premier au premier, & le fecond au fecond, l'on aura yy = xx→ 2ay — bx, qui eft une équation à l'Hyperbole équilatere. Si l'on ajoute le fecond membre de l'équation B au premier de l'équation E, & le premier au fecond, l'on aura yy✦ xx = 4ay — bx, qui eft une équation au cercle. Si on multiplie l'équation B par un nombre quelconque entier ou rompu, ou

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1

par une fraction litterale, comme, avant que de la combiner avec l'équation F, comme on vient de faire; l'on aura une équation à l'Hyperbole, & une à l'Ellipfe.

On peut de même combiner deux des équations précedentes prifes à volonté, & enfuite celles qui réfultent de ces combinaisons, ce qui donnera une infinité d'équations aux Sections coniques, de l'une defquelles on pourra fe fervir avec l'équation au cercle.

15. On tirera de la même maniere d'une équation du quatrième degré qui n'a point de fecond terme, des équations aux Sections coniques, & une au cercle: mais on n'en trouvera point à l'Hyperbole par rapport à fes afymptotes: où l'on remarquera que fi l'on tiroit deux équations au cercle d'une équation du troifiéme ou du quatrième degré, le Problême feroit plan, & l'équation fe pourroit réduire à une équation du fecond degré.

16- On peut encore conftruire les Problêmes folides avec l'équation au cercle, & telle Section conique qu'on voudra, comme on peut voir dans le Traité de la Construction des Equations de M' de la Hire, dont on a fuivi ici la Méthode.

17. On multiplie les équations du troifiéme degré par leur inconnue, pour en tirer une équation à la parabole, differente de celle que l'on forme arbitrairement pour introduire dans l'équation déterminée afin d'en tirer des équations indéterminées : mais cela n'y apporte aucun changement: car les Problêmes du troifiéme & du quatrième degré font de même nature; & même leurs constructions ne different qu'en ce que les deux Courbes qu'on y employe paffent par l'origine de l'inconnue de l'équation, quand elle eft du troifiéme degré, & qu'elles n'y paffent pas quand elle eft du qua

triéme.

Dd

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