équations, non seulement tous les points, mais tel point qu'on voudra, indépendamment des autres.

21. Les courbes méchaniques sont celles dont les coordonnées sont l'une ou l'autre, ou toutes deux des courbes non rectifiables, ou, dont l'une des coordonnées les rencontre en une infinité de points. Et comme dans l'équation qui exprime la nature d'une courbe, l'une des deux lettres inconnues doit avoir au moins autant de dimensions, qu'il y a de points où la ligne exprimée par cette inconnue rencontre la courbe, il faudroit que dans les équations de ces courbes, au moins une des inconnues eût une infinité de dimensions, ce qui est impossible.

AVERTISSEMENT.

22. Avant M' Descartes, on ne prenoit pour Geometrique que ce qui se faisoit par le moyen du cercle, & de la ligne droite, & tout ce qui se faisoit par d'autres courbes étoit reputé mechanique. Mais M' Descartes, & après lui tous les nouveaux Geometres, ont pris pour Geometrique, tout ce qui se fait par le moyen des courbes Geometriques. Et les mêmes Auteurs ne prennent pour méchanique, que ce qui se fait par le moyen des courbes méchaniques.

IV.

OBSERVATIONS

Pour l'Application de l'Algebre à la Geometrie.

V

OICI les Remarques ou Observations dont on a parlé dans le premier Article, no. 8. 1. Lorsqu'on veut résoudre un Problême, il faut toujours employer deux lettres inconnues, pour nommer deux lignes indéterminées, qui ayent leur origine en un point fixe, & qui fassent toujours un angle constant, c'est-àdire, que la ligne nommée par l'une des lettres inconnues, croissant ou diminuant; celle qui est nommée par l'autre lettre inconnue, demeure toujours parallele à elle-même, ou à quelque ligne donnée. Ainsi, lorsqu'on a nommé (art. 3. no. 9.) CP, x; & PM, y; l'on a eu égard à cette

FIG. 4. Observation. De même le demi cercle AMB étant donné; s'il étoit question de déterminer le point M sur sa circonference; ayant abaissé la perpendiculaire MP, l'on pourroit nommer indifferemment AP, ou CP, ou BP, x; car les points A, C, & B font fixes; & PM, y. Et fi le Problême est déterminé, on trouvera deux équations indéterminées; mais on n'en trouvera qu'une seule, s'il est indéterminé.

2. Si l'on employe plus de deux inconnues, il faut qu'il y en ait deux qui expriment des lignes, dont la position foit telle qu'on vient de dire dans l'Observation précedente; on placera ensuite les autres, comme on voudra. Mais on peut presque toujours se dispenser d'en employer plus de deux, en exprimant les autres lignes inconnues, dont on a besoin, ou par la proprieté du triangle rectangle, ou par celle des triangles semblables.

FIG. 3. 3. S'il y a un point donné B sur un des côtez AH d'un angle donné GAH; la droite BC perpendiculaire à AH, ou parallele à quelque ligne donnée de position, sera donnée de grandeur & de position; comme aussi les intervalles AB, AC; & partant ces lignes peuvent être nommées par des lettres connues a, b, c. Mais si le point B, eft cherché, les lignes AB, BC, AC feront indéterminées, ou variables: & l'on en pourra nommer deux AB & BC, ou AC & BC par deux lettres inconnues x & y: car elles ont les qualitez requises par la premiere Obfervation.

FIG. S.

4. S'il y a un point donné D hors d'une ligne AB donnée de position & de grandeur, la ligne DC perpendiculaire à AB, ou parallele à quelque ligne donnée de po. sition, & les deux parties AC, CB, de la ligne AB feront aussi données de grandeur & de position. Mais si le point D est cherché, les lignes DC, AC, & CB feront variables, & l'on pourra nommer une des parties AC, de la donnée AB, x; CD, y; & CB (ayant nommé AB, a) fera a-x.

FIG.6.7. 5. Un angle GAH, & un point B au-dedans de cet angle angle (Fig. 6), ou au dehors (Fig. 7.) étant donnez de position; les paralleles BC, BD, ou leurs égales AC, AD, feront aussi données, & on les pourra nommer a & b : mais si le point B est cherché, les paralleles AC, AD, feront inconnues, & on les pourra nommer x, & y.

6. Ce seroit la même chose, si le point B étoit donné FIG. 8. ou cherché sur une courbe donnée HBG, dont AG, & AH font les deux axes, ou deux diametres conjuguez: mais le point B étant cherché, on pourroit nommer GC, & CB, ou HD, & DB, ou (fila courbe rencontroit encore CG prolongée en un point F (Fig. 8.) FC, & CB, x & y.

7. Lorsqu'on détermine par une operation repetée, plu- FIG. 8. sieurs points B sur un plan où il y a des lignes qui servent à déterminer tous ces points, & qu'on veut trouver une équation qui exprime la nature de la courbe sur laquelle les mêmes points se doivent rencontrer, il faut toujours nommer par une lettre inconnue, quelque ligne ; comme BC, qui part d'un des points B, & qui étant parallele à quelque ligne donnée AH, rencontre une autre ligne AG donnée de position en quelque point C, & nommer par une autre lettre inconnue quelque partie de la ligne AG comprise entre le point variable C, & quelque point fixe A, ou G.

8. Un angle GAH, & un point fixe D hors de cet F16. 9. angle, étant donnez de position sur un plan; s'il s'agit de mener une ligne DEF par quelque point cherché E ou F sur un des côtez de cet angle, dans de certaines conditions, les parties AE, AF seront inconnues, & pourront être nommées x, & y: mais les paralleles DB, DC, aux côtez AH, AG, ou leurs égales AC, AB feront données, & pourront être nommées a, & b.

9. Si l'on est obligé de tirer des lignes autrement que selon les regles contenues dans les Observations précedentes; on les tirera de maniere qu'elles forment plutôt dans la figure, sur laquelle on opere, des triangles semblables, que des triangles rectangles: car les triangles semblables donnent des équations plus fimples que les triangles rectangles.

D

:

10. La proprieté du triangle rectangle, & des triangles semblables, donne presque toutes les équations dans lesquelles on tombe, en appliquant l'Algebre à la Geo

metrie.

11. Les hypothenufes des triangles rectangles doivent toujours être exprimées par le moyen des deux côtez qui forment l'angle droit, à moins qu'elles ne foient données de grandeur. Ainsi les deux côtez étant nommez x & y, l'hypothenuse sera Vxx + yy.

12. On ne doit jamais nommer les lignes égales, ou qui doivent être égales, par des lettres differentes.

13. S'il y a de la difficulté à employer & à nommer des lignes qui semblent necessaires à la resolution d'un Problême; on pourra employer en leur place d'autres lignes, pourvû qu'elles ayent entr'elles le même raport.

FIG. 3. Par exemple, en supposant que BC, & DE foient paralleles, il s'agit d'employer AB, & BD; & que AC, & CE foient nommées; on pourra employer AC, & CE au lieu de AB, & BD; puisque AC. CE :: AB. BD.

14. On abrege le calcul, & on trouve souvent des équations plus simples, en prenant pour l'origine des inconnues le point qui divife par le milieu une ligne donnée de grandeur : & l'on tombe par ce moyen dans un principe très - connu, & qui est souvent d'un grand secours dans l'Application de l'Agebre à tous ses usages. Le voici.

I

15. La moitié de la fomme de deux grandeurs, plus la moitié de leur difference est égale à la plus grande; & la moitié de la somme de deux grandeurs, moins la moitié de leur difference est égale à la plus petite. Ainsi, nommant la somme 2m, & la difference 2n; la plus grande sera m+n, & la plus petite m-n.

16. Il n'est pas necessaire de prendre tant de précautions, pour nommer les lignes de la figure fur laquelle on opere, quand il s'agit de démontrer un Theorême: car comme il n'y a point de lignes dont il foit necessaire de déterminer la longueur, on les peut toutes nommer par telles lettres qu'on voudra, connues, ou inconnues: mais on doit toujours suivre les regles précedentes pour tirer les lignes necessaires.

On confidere neanmoins quelquefois les Theorêmes qu'on veut démontrer, comme des Problêmes à refoudre. Et en ce cas, on peut suivre les principes précedens.

AVERTISSEMENT.

Toutes ces Obfervations peuvent apporter beaucoup de facilité pour trouver des équations dans l'Application de l'Algebre à la Geometrie : mais la premiere & la septième sont les plus confiderables de toutes; car en suivant ce qui y est prescrit, les Problèmes indéterminez, feront toujours refolus par la voye la plus fimple, ou plutôt par la seule voye naturelle; c'est pourquoi fi en ce cas, on avoit employé plus de deux inconnues, il faudroit faire évanouir celles qui expriment des lignes dont la position n'est point conforme à ce qui eft dit dans ces deux Obfervations. Mais parcequ'on ne peut pas construire tous les Problèmes déterminez par le moyen de deux équations indéterminées, pour les raisons que l'on a dites art. 3. no. 175 on eft quelquefois oblige d'abandonner ces deux Obfervations. Voici à peu près ce qu'il y a a à observer, quand on les veut fuivre.

17. Quand en refolvant un Problême avec deux inconnues, suivant la premiere Observation, on trouvera deux équations indéterminées; le Problême sera déterminé, & on le pourra construire avec ces deux équations, si elles se rapportent toutes deux à la ligne droite, ou l'une à ligne droite, & l'autre au cercle, ou toutes deux au cercle; car il n'y a point de lignes plus fimples que la droite, & la circulaire.

18. Si l'une de ces deux équations indéterminées se rapporte au cercle, & que l'autre soit du second degré, il faudra faire évanouir l'une des deux inconnues; & fi l'équation déterminée qui en réfulte, n'est point du premier, ou du second degré, on examinera si elle ne peut point être divisée par quelque binome composé de quelqu'un des diviseurs du dernier terme, & d'une puissance