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gles DBC & ABC feroient égaux ; mais cela ne peut être fans abfurdité, d'au-" tant que ce feroit faire voir que la partie eft auffi grande que le tout; il est donc impoffible que le côté AB foit plus grand que le côté AC. On prouvera de même que le côté AC ne fçauroit être plus grand que le côté AB; ainfi les deux côtez AB, AC font donc égaux entr'eux C. Q. F. D.

J'ai démontré cette Propofition de même qu'elle eft démontrée dans les Oeuvres Pofthumes de M. Rohault, m'ayant parue plus convaincante, que celles qui \fe trouvent dans les anciennes Editions de ce Livre.

Fig. 28.

USAGE.

>

On peut fe fervir très-utilement de cette Propofition pour mesurer l'elevation d'une Tour, ou d'une Obelifque ; ainfi fi l'on vouloit fçavoir l'élevation de l'Obelifque AB il faudroit attendre que le Soleil fut élevé de 45 degrez fur l'horizon; pour avoir Pombre CB, égale à la hauteur AB, car nous verrons par la fuite qu'au Triangle rectangle, tel que ABC, fi l'angle Ceft de 45 degrez, l'angle A fera auffi de 45. pur confequent le Triangle fera Ifofcele; c'est-à-dire, que la hauteur AB fera égale à la longueur de l'ombre CB, laquelle

étant connue on aura ce qu'on cherche. Nous omettons la Propofition feptiéme comme n'étant d'aucun ufage.

PROPOSITION VIII.

THEOREM E.

Si deux Triangles ont tous les côtez égaux, leurs angles compris par ces côtez egaux., feront auffi égaux entr'eux.

Es Triangles ABC & DEF font fup- Fig. 294 pofés avoir leurs côtez égaux les uns aux autres, c'est-à-dire, que AB, est égale à DE, AC à DF, & BC à EF. Cela étant je dis que l'angle A fera égal à l'angleD, Bà E, Cà F.

Démonftration.

Cette Propofition peut fe démontrer très-aifément, de même que la quatrième. Car imaginez vous que le premier Triangle a été pofé fur le fecond; cela étant leurs côtez ayant été fuppofés égaux, les extrêmités des côtez de l'un viendront aboutir fur les extrêmités des côtez de l'autre, les trois points A, B, C, convenant avec les trois points D, E, F, il eft aifé de voir que les angles formés par les côtez égaux, font égaux. C. Q. F. D.

Fig. 30.

PROPOSITION IX.

PROBLEME.

Divifer un angle en deux également.

Q

U'on propose à divifer en deux éga lement l'angle SRT. Coupez deux lignes égales RS, TR, mettant le pied du compas en R, & à quelque ouverture de compas que ce foit décrivant l'arc ST, tirez la ligne ST, & décrivez par la premiere Propofition, le Triangle équilateral SVT. Je dis que la ligne RV, divife l'angle SRT en deux également; c'est-àdire, que les angles VRT, VRS font. égaux.

Démonftration.

Les Triangles VRS, VRT, ont le côté VR commun, le côte RT a été pris égal au côté RS: la bafe SV, eft égale à VT, puifque le Triangle SVT eft équilateral. Donc (par la 8.) les angles SRV, TRV font égaux.

USAGE.

Il est néceffaire de fe fervir de cette Propofition dans les Problemes fuivans,on s'en fert encore dans la plupart des reductions qu'on

fait.

fait des figures. Il ferott a fouhaiter qu'on put divifer un angle en trois, en cinq parties egales auffi aifement qu'en quatre, en 8, ou en 16: mais ceci eft d'une Geometrie differente: c'est-à-dire, que celane fe peut faire que par le moyen des courbes, c'est-à-dire, des fections coniques. On trouvera cepen

dant dans le beau Dictionnaire de Mathematique de M. Ozanam, au lieu où il traite de la Géométrie Speculaire, une courbe propre à divifer un angle en trois, en cinq également, qu'il dit etre de l'invention de M. Tfchirnhaus; cette courbe eft très-commode, & on peut s'en fervir aisement.

PROPOSITION X.

PROBLEME.

Divifer une ligne en deux également.

N propofe de divifer la ligne AB, Fig. 31 en deux parties égales, pour cela il ne faut que faire un Triangle équilateTal ABC, & divifer (par le Prob. préced.) l'angle C en deux également, par la ligne EC; le point E où cette ligne coupe AB, eft le point du milieu qu'on cherche, ce qui est bien évident; car le Trian

C

Fig. 32.

gle ACE eft égal au Triangle ECB, puifqu'ils ont chacun un angle égal, qui eft la moitié de celui qu'on vient de divifer, le côté EC leur eft commun, & les côtez AC, CB font égaux, donc (par la 4.) les bafes AE & EB font égales.

PROPOSITION XI
PROBLEM E.

D'un point pris fur une ligne élever une
perpendiculaire,

Oit la ligne donnée BC, & le point donné A, il faut de part & d'autre, de ce point donné, prendre les parties égales AB & AC; puis ayant ouvert un Compas d'une grandeur volontaire, du point C comme centre décrivez l'arc D, du point B avec la même ouverture de Compas, décrivez-en un fecond qui aille couper le premier, du point A au point de fection D, tirez la ligne AD, elle fera perpendiculaire fur BC.

Démonftration.

Nous avons les deux Triangles égaux DAB & DAC, car leurs côtez font égaux par la conftruction: Donc (par la 8.)

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