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Fig. 32.

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gle ACE eft égal au Triangle ECB, puifqu'ils ont chacun un angle égal, qui eft la moitié de celui qu'on vient de diviser, le côté EC leur eft commun, & les côtez AC, CB font égaux, donc (par la 4.) les bases AE & EB font égales.

PROPOSITION XI.

PROBLEM E.

D'un point pris fur une ligne élever une perpendiculaire.

S

Oit la ligne donnée BC, & le point donné A, il faut de part & d'autre, de ce point donné, prendre les parties égales AB & AC; puis ayant ouvert un Compas d'une grandeur volontaire, du point C comme centre décrivez l'arc D, du point B avec la même ouverture de Compas, décrivez-en un fecond qui aille couper le premier, du point A au point de fection D, tirez la ligne AD, elle fera perpendiculaire fur BC.

Démonftration.

Nous avons les deux Triangles égaux DAB & DAC,car leurs côtez font égaux par la conftruction: Donc ( par la 8. )

l'angle DAB & DAC font égaux, & par conféquent droits, ce qui prouve que la ligne AD eft perpendiculaire fur BĈ.

PROPOSITION XII.

PROBLEM E.

Tirer une perpendiculaire à une ligne par un point hors de la même ligne.

L ne faut que du point donné A comme Fig. 33, centre; décrire l'arc BC qui coupe la ligne en deux points B & C, enfuite divifer la partie BC en deux également au point E, la ligne tirée de A en E fera perpendiculaire, ce qui eft aifé de démontrer; car les rayons AB, AC étant égaux auffi bien que les côtez BE, EC; la ligne AE étant commune, on connoîtra comme dans le Problême précedent, que la ligne AE eft perpendiculaire fur BC, puifqu'elle fait deux angles droits avec la ligne B C.

PROPOSITION XIII.

THEOREM E,

Une ligne qui tombe fur une autre, fait avec elle deux angles droits, ou deux angles, lefquels pris ensemble sont égaux à deux droits.

Fig. 34. Sment fur BC, les angles ADC & I la ligne A D tombe perpendiculaiADB feront droits (par la Définition 1 1.) Fig. 35. mais fi, par exemple, la ligne AD, au lieu d'être perpendiculaire étoit oblique comme ED,on auroit un angle aigu EDB, & un angle obtus EDC, lefquels pris enfemble vaudront deux droits; car fi du point D comme centre vous décrivez un demi Cercle, l'arc F C fera la mesure de l'angle obtus, & l'arc B F fera la mesure de l'angle aigu; & comme ces deux arcs pris enfemble valent le demi Cercle, & que le demi Cercle eft la mefure de deux angles droits; il s'enfuit qu'une ligne qui tombe fur une autre fait deux angles droits, ou deux angles qui leur font égaux.

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Quand nous connoiffons un des deux an- Fig. 36. gle, qu'une ligne fait en tombant fur une autre, il eft facile de connoître l'autre ; car, par exemple, fi je connois l'angle EAD de 50. degrez, je n'ai qu'à les fouftraire de 180,qui eft la valeur de deux angles droits, il restera 130 pour la valeur de l'angle obtus EAC.

F'obmettrai la Propofition 14. comme étant peu confiderable. Je pourrai faire de même à l'égard de plufieurs autres, pour ne m'attacher uniquement qu'à celles dont on ne peut se paffer.

PROPOSITION XV.

THEOREM E.

Si deux lignes droites fe coupent, les angles oppofez au fommet font égaux.

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Oit les deux lignes A B & DC qui fe Fig. 37. coupent au point E. Je dis que l'angle AED, est égal à l'angle CEB.

Démonftration.

Si l'on confidere que la ligne AE, en tombant fur DC, fait avec elle les angles AED & AEC égaux à deux droits

(par la 13.) pareillement la ligne CE tombant fur AB, fait avec elle les angles BEC & AEC qui valent deux droits. Cela étant on peut remarquer que l'angle AEC eft commun à cette valeur de deux droits; ainfi fi on l'ôte des uns, & des autres, il restera l'angle CEB, égal à l'angle AED. C. Q. F. D.

USAGE.

Cette Propofition est très-confiderable; elle fert principalement pour démontrer la 27.& pour l'appliquer à la pratique, foit, par exemple, l'angle AEC que l'on ne peut mefurer avec un inftrument, parce que je Fig. 38. fuppofe que c'est un Mur, où tout autre corps folide qu'on ne peut parcourir, il faut prolonger les côtez AE & CE à volonté vers D&B, je veux dire qu'il faut se mettre fur l'alignement de fes côtez, pour avoir le Triangle BDE, qui fe fait auffi petit, &auffi grand que l'on vent. Cela étant fait, il faut en mesurer les côtez pour les rapporter fur le Papier, pour faire un Triangle femblable, par lequel on pourra connoître l'angle E qu'on cherche.

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