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multiplier,ainfi(par exemple)dans le se éxemple cídevant, fi l'on prend le Multiplicateur (580,800) pour Multipliende, & la Somme à multiplier (907,890) pour Multiplicateur, & qu'on faffe une 2o Multiplication à l'ordinaire, on trouvera encore le même produit total qu'on a trouvé la premiere fois fi l'on a bien operé toutes les deux. On donnera dans la 2e Partie une preuve par 9, & une nouvelle par 1 1, qui fe verifient l'une l'autre, & demandent moins de temps que celleci, mais qui font plus curieufes qu'utiles.

infliquara

Théorie de la Multiplication.

VIII. Il faut premierement faire ici les mêmes remarques touchant la commodité de cette operation, que fur les deux precedentes, & par les

mêmes raifons.

Secondement à l'égard de fa jufteffe, on n'en fçauroit non plus douter: car pour nous fervir du I éxemple, il eft évident que le Multiplicateur 25, n'eft autre chofe que la fomme de fess unitez, & de fes 2 dixaines. Si l'on prend donc le Multipliende (467) d'abord 5 fois pour ces s unitez, & enfuite 20 fois pour ces 2 dixaines, & qu'on faffe une fomme de ces deux produits, il est évident qu'on aura le produit total defiré. Or c'eft ce qu'on a fait en écrivant le 24 produit fous le 1, mais plus avancé d'une place vers la gauche, afin que fon 1 chiffre 4 à droite vaille des dixaines; (comme il le doit) & ajoûtant les 2 produits en une fomme.

fi

A l'égard du 2a éxemple, il eft évident que l'on n'avoit que (513) à multiplier par ( 214,) le produit defiré feroit ( 109,782,) mais comme

on indi

quira

le Multipliende propofé eft plus grand dix fois que (513,) il est évident que le produit de (5 1 30,) par (214) doit être augmenté dix fois à proportion; ce qui fe fait en lui ajoûtant un zéro, ainfi ( 1,097,820.) De même le produit de (5130) par ( 21,400) doit être cent fois plus grand que par 214 feulement, à cause que ( 21,400) eft plus grand 100 fois que (214;) il faut donc encore ajoûter les deux zéros de ( 21400) au produit (1097,820) ci-deffus; ainfi le premier produit (109,782) aura les trois zéros, tant de la fomme à muliplier, que du Multiplicateur, puifqu'il doit croître ou diminuer,nonfeulement à raifon duMultipliende, mais encore à raifon du Multiplicateur.

I

La raifon du troifiéme éxemple fe voit affez par elle-même. A l'égard de celle du 4o, il faut confiderer qu'on n'écrit pour produit zéro) fous le multiplicateur zéro, qu'afin que le r' chiffre 6 du produit fuivant se trouve avancé d'une place, & comme naturellement rangé fous fon produifant (2) ce qui eft generalement neceffaire car dans le 24 éxemple, (par exemple) le produit de ( 5 13 ) par l'1 de 214, doit être dix fois plus grand, que fi fon produifant (1) étoit dans la re place à droite, & ne valoit que des unitez. Or c'eft ce que l'on fait en avançant autant le produit de cet 1; fçavoir (513) vers la gauche, que cet (1) est lui-même avancé de ce côté ; car par ce moyen le 1 chiffre 3 de ce produit vaut 3 dixaines, & non pas 3 unitez, étant dans le rang des dixaines; le 24 chiffre I du même produit vaut des centaines, & non pas des dixaines, étant dans le rang des centaines, & le 3e (5) vaut des milles, & non pas des centaines, étant dans le rang des 1000. De même le produit de (513) par ( 2 ) doit valoir 100 fois plus, que fi ce 2 étoit dans la place du 4, ou dix

ni

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fois plus que s'il étoit dans la place de l'1, puifque ce 2 vaut des centaines, & non pas des unitez, des dixaines. Or c'est ce qu'on fait, en avançant son produit (1026) encore d'une place vers la gauche; car par ce moyen fon premier chiffre 6 vaut 6 cent, & non pas 6 unitez, 'ni 6 dixaines étant dans le rang des centaines, ainfi des autres chiffres à proportion. Or il eft bien évident qu'en écrivant d'abord le dernier chiffre à droite ( 2 ) du I produit (2052) fous le dernier (4) du multiplicateur (214,) & avançant enfuite d'une place chacun des derniers chiffres 3 & 6 des autres pro- . duits (513) (1026,) ces derniers chiffres 3 & 6, doivent fe trouver de même fous leurs produifans ( 1 ) & ( 2 ; ) & de même fi le Multiplicateur contenoit un plus grand nombre de chiffres.

A l'égard des remarques du 6e article, il eft évident que de multiplier un nombre par 10, ou par 100, ou par rooo, ce n'eft autre chofe que le faire valoir 10 fois, ou roo fois, ou 1000 fois plus qu'il ne valoit. Or en y ajoûtant un zéro à la fin, fon dernier chiffre 4 (par exemple) qui ne valoit que des unitez, vaut alors des dixaines: le fecond 3, qui ne valoit que des dixaines, vaut des centaines; & le 3e qui ne valoit que des centaines, vaut des 1000 Ainfi chacun de fes chiffres étant augmenté dix fois, on ne peut douter que la fomme entiere (234) ne vaille auffi dix fois plus que fans ce zéro. De même quand on ajoûte z zéros, on fait valoir chaque chiffre de la fomme à multiplier 100 fois plus qu'il ne valoit. Donc cette même fomme entiere eft augmentée elle-même cent fois. Quand on en ajoûte 3, on augmente chaque chiffre du Multipliende 1000 fois; ainsi tout le Multipliende eft multiplié par 1000, & de même pour un plus grand nombre de zéros.

Quant à la Multiplication par des nombres, dont tous les chiffres font des unitez, elle fe connoît tout d'un coup en faifant l'operation tout au long, & la comparant avec la regle que nous donnons. Celle que nous donnons pour les nombres au deffous de (20,) n'eft guéres plus difficile: car lorfqu'on multiplie un nombre comme (50970) par 12, (par exemple) on double d'abord (50970,) & on écrit enfuite le même nombre (50970) tout fimple deffous, mais d'une place plus avancée vers la gauche. Or nôtre méthode donne la même chofe, quoique dans un ordre contraire : ce qui eft indifferent, comme il eft manifefte.

Enfin pour ce qui regarde la 4 abreviation, rien n'eft plus narurel, lorfqu'on ne prend que la moitié ou le tiers du Multipliende, que de prendre en recompenfe le double ou le triple du Multiplicateur, l'on veut avoir le même produit, qu'on auroit trouvé par l'operation naturelle; puifque par ce moyen, autant que le rabaiffement du Multipliende rabaisse le produit defiré, autant l'augmentation du Multiplicateur le rehauffe; ce qui le réduit toûjours à la même valeur.

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A l'égard de la preuve de la Multiplication, elle eft fondée fur ce que 3 fois 2, (par exemple) ou 2 fois 3, font le même produit, fçavoir 6. Or ceci eft manifefte par le raifonnement precedent; car dans le cas (2) eft le Multipliende, & ( 3 ) le Multipliant ; & dans le fecond (3) eft le Multipliende & (2) le Multiplicateur. Donc le Multipliende du 2d cas eft plus grand de fon tiers que celui du 11; mais en recompenfe auffi, le Multiplicateurdu 1 cas eft plus grand auffi de fon tiers que celui du 2d. Donc il y a compenfation entre ces 2 produits : c'eft pourquoi ils ne peuvent manquer d'être égaux; c'eft ce que tout le monde fçait par

experience & croit entendre, mais dont peu de perfonnes, peut-être, fçavent la veritable raison.

CHAPITRE V.

De la Divifion des Entiers.

ART. I. D Ivifer un nombre comme 72 par quel

que autre, comme par 12, c'eft cher

cher combien de fois le Divifeur (12) eft contenu dans le Dividende (72;) & trouver en mêmetemps le furplus, s'il n'y eft pas contenu exactement. Le nombre qui exprime combien de fois le Diviseur eft contenu dans le Dividende, s'appelle le Quotient, auffi-bien que le trait dans lequel l'on l'enferme.

La Divifion, auffi-bien que la Multiplication, fuppofe qu'on fçache divifer par cœur tout nombre moindre que 100 par tous les nombres élementaires, comme (par exemple) (69) par (7,) c'est à quoi la Table de la Muliplication eft encore utile: car elle apprend que 9 fois 7 font 63; d'où il eft évident que 7 eft en 63, 9 fois jufte : & par confequent auffi 9 fois en 69, avec un refte (6.) C'eft pourquoi lorfqu'on apprend cette 'Table, il eft bon de fe rendre auffi ces divifions familieres, afin d'en diminuer la peine, qui est encore assez grande pour les commençans.

Ceci fupofé, pour

IT EXEMPLE. Dividends 72 5 6

divifer 72 par 12,0n écrit le 1 chiffre (1)

Diviseur. 12

Quotient

du Divifeur (12)

fous le

(7) du

Refte

.....

Dividende (72,

lorsque ce 1r chiffre du Diviseur est plus petit; &

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