Application de l'algèbre à la géométrie

ayant

FIG. 10. dre fur une ligne droite AH, AD=a, & DB=b,& décrit un demi cercle fur le diametre AB; la ligne DE perpendiculaire au point D, fera égale à Vab: car nommant DE, x; l'on aura a (AD). x (DE) :: x ( DE). b (DB); donc xx=ab, & x= √ab. De même pour exprimer √aa+ab, on voit que aa+ab, eft la produite de a+b; par a. Ainfi ayant fait AD=a+b, & DE =a; DE, fera Vaa+ab.

Semblablement, pour exprimer Vaa—bb; puifque -b, en faisant aa-bb, eft le produit de a+b par a — AD=a+b, & DB—a—b; DE fera-Vaa-bb. On peut encore exprimer autrement cette quantité, comme on va voir no. 3.

Pour exprimer

Vaabb; ayant trouvé, comme

on vient de faire DE=√aa-bb, & l'ayant nommée; c,

l'on aura au lieu de

Vaa-bb, & l'on trouvera (no. 1.)

FIG. 3. DE=- faifant AB=n, BC=m, & AD=c.

3. Pour exprimer Geometriquement √aa+bb. Puisqué aa+bb eft la fomme de deux quarrez, il eft clair que FIG. 11. fi l'on décrit un triangle ABC rectangle en B, un de ses côtez AB étant nommé a, & l'autre BC, b; l'hypothenuse AC sera =√aa+bb. Il ne feroit pas plus difficile d'exprimer la racine de la fomme de plufieurs quarrez, comme Vaa+bb+cc, &c.

Pour exprimer Geometriquement Vaa—bb, qui est la difference de deux quarrez; il est évident qu'ayant décrit un triangle rectangle dont l'hypothenuse foit—a racine du quarré pofitif, & un des côtez=b racine du quarré negatif, l'autre côté fera =√aa—bb. Ce qui fe fait en FIG. 12. cette forte; foit décrit fur le diametre AB―a, le demi cercle ACB, & foit infcrit dans le demi cercle de la ligne AC=b, & mené CB; l'angle ACB, étant droit à caufe

caufe du demi cercle; CB fera - Vaa―bb. La même chofe s'execute encore en la maniere fuivante. Soit dé. FIG. 13. crit un demi cercle fur le diametre AB=2a, élevée au centre C la perpendiculaire CH, prife CGb racine du quarré negatif, menées EF, & FD paralleles à AB,& à HC, & mené le rayon CF; GF ou CD fera-Vaa—bb; puifque CF =a, & CG, ou DF=b. Cette derniere maniere convient mieux à la construction des équations que la précedente.

4. Il y à des quantitez Algebriques plus compofées
que celles dont on vient de parler (no. 1, 2, 3 ;) & que
l'on ne peut exprimer geometriquement, qu'après y avoir
fait certains changemens. Or ces changemens consistent
particulierement à mettre l'expreffion Algebrique d'un
quarré en la place de l'expreffion Algebrique d'un rectan-
gle, ou de mettre l'expreffion Algebrique d'un rectangle
dont un côté foit donné en la place d'un autre rectangle,
ou d'un quarré. Ainfi pour exprimer geometriquement
cette quantité fractionnaire
dont le nume-

aa+bbcd
b

rateur n'eft point le produit de deux quantitez que l'on
puiffe féparer par la divifion, & qui ne peut par confe-
quent être réduite en analogie; il faut donc changer le
quarré Algebrique bb, en un rectangle dont un côté foit
a, & le rectangle Algebrique cd, en un autre rectangle
Algebrique, dont un côté foit auffi
a, afin que la lettre a
fe trouve dans tous les termes. Soit pour ce fujet x, le
côté du rectangle qui doit être égal à bb, dont l'autre
côté eft la ligne donnée, exprimée par a l'on aura, se-
lon les termes de la question, ax = bb; donc x=

b b
;

ayant donc (no. 1.) exprimé geometriquement
l'ayant nommée ƒ; l'on aura f= x; & partant af bb.
Soit femblablement y le côté du rectangle qui doit être
égal à cd, dont l'autre côté eft la même donnée a; l'on

aura ay cd; donc y: & ayant nommé g l'expref

cd fion de

trouvée (no. 1.); l'on aura ag=cd; la quan

tité precedente fera donc changée en celle-ci,

aa+af-ag
b

en mettant pour bb, & pour cd, leurs valeurs af, & ag
que l'on vient de trouver, qui eft facile à exprimer; puif-
qu'on la peut à prefent réduire en l'analogie fuivante b.

aa + af — ag
b

On auroit pû changer le quarré

`a ::a+f— g⋅
aa, & le rectangle cd, au lieu que l'on a changé bb, & cd.

5.Pour exprimer la quantité Vaa be, il faut changer le quarré aa en un rectangle, dont un côté foit 6 ou c; ou bien le rectangle br en un autre, dont un côté soit a; & on en aura enfuite facilement l'expreffion geometrique (no. 2.) Il en eft ainfi des autres.

6. Les manieres dont nous venons de nous fervir pour exprimer geometriquement les quantitez Algebriques font generales: on les peut fouvent abreger par le moyen de quelques lignes menées paralleles à quelques autres lignes données de pofition, ou en décrivant quelques cercles, felon que l'indique la figure de chaque Problême que l'on conftruit: mais comme ces manieres font particulieres, on n'en peut rien dire ici, cela dépend du genie du Geometre, qui veut réfoudre & conftruire les Problêmes le plus élegamment qu'il lui eft poffible. On les trouvera pratiquées dans plufieurs exemples.

CONSTRUCTION

Des Equations déterminées du premier degré, & de celles du fecond qui n'ont point de fecond terme.

7. N voit clairement que les expressions geometriques des quantitez Algebriques, donnent auffi la résolution des équations du premier degré, & de celles du fecond, qui n'ont point de fecond terme; car si ces mêmes quantitez étoient égalées à des lettres inconnues leur valeur feroit déterminée par ces expreffions. Par exemple, pour conftruire cette équation xx=aa — bc, d'où l'on tire x=±√aa—bc, il n'y a qu'à exprimer Vaa-bc, comme on vient de faire, & l'expreffion prise de part & d'autre, de l'origine de x fera fa valeur pofitive & negative. Il en eft ainfi des autres.

CONSTRUCTION

Des Equations du fecond degré, qui ont un Second terme.

VI.

Es Equations du fecond degré qui ont un fecond terme, fe peuvent toutes réduire à quelqu'une des quatre formules fuivantes.

I. XX

ax+bb.

CONSTRUCTION

De la premiere & feconde Formule.

1.POUR la premiere & la feconde Formule. Soit dans

la figure fur laquelle on opere, & d'où l'on a tiré l'équaFIG. 14. tion que l'on veut conftruire, A le commencement de x & 15. qui va vers H. Ayant élevé au point A la ligne AB perpendiculaire à AH, &=b racine du dernier quarré bb ; on prendra AC (Fig. 14.) a du côté de H, par ra

port à A pour la premiere formule où il y a+ — a ; & de
l'autre côté de H (Fig. 15.) pour la feconde formule, où
--a; & du centre C l'on décrira par B, le cercle

il y a

DBE, qui coupera AH en E, & en D. Je dis que AE
fera la valeur pofitive de x, & AD fa valeur negative.