Pl. 3.

Triangle ABC le long de la ligne ACF, je démontrerai que l'angle BCF eft plus grand que l'angle A.

USAGE.

Nous tirons de cette Propofition plufieurs Fig. 40. conclufions très-utiles. La premiere que

d'un

point donné, on ne peut tirer qu'une perpendiculaire à une ligne. Par exemple, que la ligne AB foit perpendiculaire à BC: je dis que AC ne fera pas perpendiculaire, parce que l'angle droit ABD qui eft exterieur eft plus grand que l'interieur ACB: donc ẮC Bne fera pas un angle droit, ni AC une perpendiculaire.

La feconde, qu'on ne peut tirer du même point A, que deux lignes égales; par exem ple AC, AD fur une même ligne ou plan ED,& que fi on tire une troifiéme AE, elle ne fera pas égale aux autres. Car puifque AC, AD font égales, les angles ACD, ADC font égaux (par la 5.) or dans le Triangle AEC, l'angle externe ACB est plus grand que l'interne AEC: & ainfi Tangle ADE, eft plus grand que AED: donc les lignes AE, AD, & par confequent AC, ne font pas égales.

La troifiéme, eft que fi la ligne AC, fait Tangle ACB aigu, & ACE obtus, la perpendiculaire tirée du point A, tombera du côté de l'aigu; car fi on difoit que AE eft

ek

perpendiculaire;& que l'angle AEF eft droit, l'angle droit AEF feroit plus grand que l'angle obtus ACE, ce qui eft impoffible; donc &c. Ces conclufions nous fervent pour mefurer les parallelogrames, les Triangles, &les Trapezes, pour les reduire aux figures rectangles.

On peut auffi facilement démontrer par cette Propofition la 27, comme on le peut voir dans les Elemens d'Euclide de M. Oza

nam.

Nous omettrons la Propofition 17. comme n'étant qu'un Corollaire de la 32.

PROPOSITION. XVIIL

THEOREM E.

Dans quelque Triangle que ce foit le plus grand côté eft oppofe au plus grand angle

Q

du

Ue le côté BC du Triangle ABC, Fig. 4 foit plus grand que le côté AC, je dis que l'angle BAC oppofé au côté BC, eft plus grand que l'angle ABC, opposé au côté AC. Coupez dans BC, la ligne CD égale à AC, & tirez AD.

Démonftration.

Puifque les côtez AC, CD font égaux

le Triangle ACD fera Ifocele; (& par la 5.) les angles CDA, CAD feront égaux. Or l'angle total BAC, eft plus grand que l'angle CAD; donc l'angle BAC, eft plus grand que l'angle CDA ; lequel étant extérieur, eu égard au Triangle ABD Fig. 42. eft plus grand que l'interieur ABD (par la 16.) donc l'angle BAC eft plus grand que l'angle ABD; donc le plus grand côté eft oppofé au plus grand angle.

43.

Fig. 43.

,

La propofition 19. eft, pour ainfi dire, l'inverfe de celle-ci, ne difant autre chofe, que le plus grand angle eft oppofé au plus grand côté; aina il me paroît qu'il eft inutile de la rapporter ici, puisque la démonftration eft la même que la pré

cedente.

USAGE.

Cette Propofition peut fervir fur le terrain, pour connoître de deux angles d'un Triangle celui qui eft le plus grand, lorf qu'on n'a point d'inftrument pour les mefurer: car fi, par exemple, le côté BC eft plus grand que AC, qu'on peut mefurer à fes pas, on connoît par cette Propofition que Tangle BAC, eft plus grand que l'angle G BA.

PROPOSITION XX.

THEOREM E.

Dans quelque Triangle que ce foit, deux, côtez pris enfemble font plus grands que le troifiéme.

Ette Propofition fe démontre aifé- Fig. 401 ment par la définition de la ligne droite; car il eft certain que dans le Triangle TLV, les deux côtez TL, & LV font plus grands pris enfemble que le côté TV, ce côté ici pouvant être confideré comme une ligne droite, qui eft la plus courte qu'on peut tirer du point T, au point V. Il n'en eft pas de même des deux autres côtez pris ensemble, puif qu'ils renferment une efpace. C. Q. F

Fig. 47.

PROPOSITION XXI.

THEOREМЕ.

Si deffus la même bafe, on decrit un petit Triangle dans un grand, les côtez du petit feront moindres que ceux du grand, & ils feront un angle plus grand.

U'on décrive le petit Triangle A DB; dans le Triangle ACB, deffus la même base AB. Je dis premierement que les côtez AC, BC, font plus grands que les côtez AD, BD. Continuez le câté AD jufqu'en E.

Démonftration.

Dans le Triangle ACE, les côtez A C, CE font plus grands que le feul côté AE, (par la 20.) donc en y ajoûtant le côté EB, les côtez AC, CB feront plus grands que les côtez AE, EB. Pareillement dans le Triangle DBE, les côtez BE, ED, font plus grands que le feul côté BD; & ajoûtant le côté AD, les côtez AE, EB, feront plus grands que AD, BD. Mais AE, EB font plus petits que AC, AB. Donc à plus forte raifon AD, DB, seront plus petits que AC, CB.