HP, Nq perpendiculaires aux plans des bafes: elles feront égales, puifque les angles folides E & K font fuppofés égaux, de forte que s'ils fe penetroient, ils ne fe furpafferoient pas l'un l'autre, & que les lignes EH, KN font fuppofées égales. Donc les hauteurs HP, Nq font égales.

Démonftration

Il y a même raifon de A à B, ou de FIà LM; que de B à C,ou de MN à HI: ainfi le parallelograme FH compris fous FI, 1H, est égal au parallelograme LN, compris fous LM, MN égales à B (par la 14. du 6.) Les bafes font donc égales. Or les hauteurs HP, Nq le font auffi. Donc (par la 31.) les parallelepipedes font égaux.

PROPOSITION XXXVII.

THEOREME,

Si quatre lignes font proportionnelles, les parallelepipedes femblables decrits deffus ces lignes, font proportionnels : & fi les parallelepipedes femblables font proportionnels, les cotez homologues le font auffi.

Cà

I A eft à B en même raifon que
D; les parallelepipedes femblables

SD;

Pl. 20

Fig. 41.

qui auront pour côtez homologues les li gnes A, B, C, D, feront en même raison. Demonftration.

Le parallelepipede A eft au parallelepipede B en raifon triplée de celle de la ligne A à la ligne B, ou de celle de la ligne C à la ligne D. Or le parallelepipede C au parallelepipede D, eft auffi en raifon triplée de celle de C à D (par la 33.) Il y a donc même raifon du parallelepipede A au parallelepipede B, que du parallelepipede C, au parallelepipede D.

J'ajoûte que files parallelepipedes A, B, C, D, font proportionnels, les côtez homologues, A, B, C, D, seront aussi proportionnels.

Démonftration,

Puifque (par la fuppofition) le parallelepipede A, eft au parallelepipede B, comme le parallelepipede C, au parallelepipede D, & que (par la 33.) le parallelepipede A, eft au parallelepipede B, en raifon triplée de celle du côté A, au côté homologue B : & le parallelepipede C, au parallelepipede D, en raifon triplée de celle du côté C, au côté homologue D; il y a même raifon du cô té A, au côté B, que du côté C, au côté D.

PRO

PROPOSITION XXXVIII.

THEOREM E.

Si deux plans font perpendiculaires l'un à Pautres la perpendiculaire tirée d'un point d'un des plans à l'autre, tombera fur la commune fection.

S

Pl. z.

I les plans AB, CD, étant perpen Fig. 43 étant diculaires l'un à l'autre, on tire du point E du plan AB, une ligne perpendi culaire au plan CD; elle tombera fur AG, commune fection des plans. Tirez EF perpendiculaire à la commune fection AG.

Démonftration.

La ligne EF perpendiculaire à AG, commune fection des plans, qu'on fuppofe perpendiculaires, fera perpendicu laire au plan CD (par la défin. 4.) & puifqu'on ne peut pas tirer du point E deux perpendiculaires au plan CD (par la 13.) la perpendiculaire tombera fur la commune fection AG.

USAGE.

Cette propofition devroit être après la 17. puifqu'elle regarde les folides en gé

Gg

neral. Elle nous fert dans le Traité des Af trolabes, pour prouver que dans l'Analemme, tous les Cercles perpendiculaires au meridien, fe marquent par des lignes droites.

Pl. 2. Fig. 43.

PROPOSITION XXXIX.

THEOREM E.

Si on tire dans un parallelepipede, deur plans qui divifent en deux également les côtez oppofes, leur commune fection, v la diagonale fe coupent aussi également.

Q

UE les côtez oppofés du parallelepipede AB foient divifés en deux également par les plans CD, EF, leur commune fection GH, & la diagonale BA fe diviferont également au point O Tirez les lignes BG, GK, AH, LH.

Je prouve premierement qu'elles ne font qu'une ligne droite: car les Triangles DBG, KMG ont les côtez DB, KM égaux; puifqu'ils font les moitiez des côtez égaux; comme auffi GD, GM. De plus DB, KM étant paralleles, les angles alternes BDG, GMK feront égaux (par la 28. du 1.) ainsi ( par

la

4. du 1.) les Triangles DBG, KGM feront égaux en tout fens; & par confequent les angles BGD, KGM: Or ( par la 15. du 1.) BG, GK ne font qu'une feule ligne; comme auffi LH, HA; donc ALBK n'eft qu'un feul plan dans lequef fe trouve la diagonale AB, & GH commune fection des plans. Le plan ALBK, coupant les plans paralleles AN, CD aura les communes fections GH, AK paralleles : & (par la 4. du 6.) il y aura même raison de BK à BG, que de BA à BO, & de AK à OG, (par la 4. du 6.) Or BK eft double de BG: donc BA est double de BO; comme AK égale à HG eft double de GO. Ainfi les lignes GH, AB fe coupent également au point O.

Corol. 1. Tous les diametres fe divifent au point O.

Corol. 2. On peut mettre ici quelques Corollaires qui dépendent de plufieurs Propofitions: par exemple, que les prif mes triangulaires de même hauteur, font en même raifon que leurs bafes: car les parallelepipedes defquels ils font la moitié (par la 32.) font en même raifon que les bafes: ainfi les moitiez des bafes, & les moitiez des parallelepipedes ; c'est-àdire, les prifmes feront en même raifon. Corol. 3. Les prifmes polygones de Gg j