PROPOSITION I. THEOREM E. Les Les polygones femblables, infcrits dans des quar Fig. 1. & 2. I les polygones ABCDE, FGHKL Pl. 3 infcrits dans des Cercles, font femblables; ils feront en même raison que les quarrez des diametres AM, FN. Tirez les lignes BM, GN, FH, AC. Démonftration. On fuppofe qne les polygones font femblables,c'eft-à-dire, que les angles B & G font égaux ; & qu'il y a même raifon de ABà BC,que de FG à GH: d'où je conclus (par la 6. du 6.) que les Triangles ABC, FGH font équiangles, & que les angles ACB,FHG font égaux: ainfi (par la 21. du 3.) les angles AMB,FNG font auffi égaux. Or les angles ABM, FGN étant dans un demi Čercle, font droits (par la 31. du 3. ) & par confequent les Triangles ABM, FGN font équiangles. Donc (par la 4. du 6.) il y aura même raifon de AB à FG,que de AM à FN (par Pl. I. Fig. 3. & 5, la 22. du 6.) fi on décrit deux polygones femblables fur AB & FG, qui font ceux qu'on a proposez ; & deux autres auffi femblables fur AM & FN,qui feront leurs quarrez:il y aura même raison du polygone ABCDE au polygone FGHKL, que du quarré de AM au quarré de FN. LEMME. Si une quantité eft plus petite qu'un Cercle, on pourra infcrire dans le même Cercle, un polygone régulier plus grand que cette quantité. Q Ve la figure A foit plus petite que le Cercle B; on pourra inferire dans le même Cercle, un polygone régulier plus grand que la figure A. Que la figure G foit la difference de la figure A, & du Cercle B, de forte que les figures A&G prifes enfemble foient égales au Cercle B. Inferivez dans le Cercle B, le quarré CDEF (par la 6. du 4.) fi ce quarré étoit plus grand que la figure A, nous aurions ce que nous prétendons. S'il eft plus petit, divifez les quarts de Cercle CD, DE, EF, FC, en deux également par les points H, I, K, L, de forte que vous ayez un octogone. Que fi l'octogone eft encore plus pecit que que la figure A, foûdivifez les arcs, & vous aurez un polygone de feize côtez,puis de trente-deux, de foixante-quatre. Je dis qu'enfin vous aurez un polygone plus grand que la figure A; c'est-à-dire, un polygone moins different du Cercle, que n'est la figure A de forte que la difference fera moindre que la figure G. Démonftration. Le quarré infcrit eft plus de la moitié du Cercle, étant la moitié du quarré décrit autour du Cercle; & en décrivant Poctogone, vous prenez plus de la moitié du reste, c'est-à-dire, des quatre fegmens CHD; DIE, EKF, CLF: Car le Triangle CHD, eft la moitié du rectangle CO (par la 34. du 1.) il est donc plus de la moitié du fegment CHD, il en eft de même des autres arcs. Pareillement en décrivant un polygone de feize côtez, vous prenez plus de la moitié de ce qui reftoit du Cercle, & ainfi de tous les autres. Vous laifferez donc enfin une plus petite quanti té que G: Car il est évident qu'ayant propofé deux quantitez inégales, fi vous prenez plus de la moitié de la plus grande: & enfuite plus de la moitié de ce qui reste; & encore, plus de la moitié de celle qui refte; enfin ce qui reftera fera moindre la feconde quantité. Hh que Pl. Fig. 6. 7.& 8. PROPOSITION II. THEOREM E. Les fuperficies des Cercles font en même rai- J E démontre que les Cercles A & B font en même raison que les quarrez de CD, EF. Car s'ils n'étoient pas en même raison, le Cercle A auroit plus grande raison au Cercle B, que le quarré de CD au quarré de EF. Que la figure G ait même raison au Cercle B, que le quarré de CD au quarré de EF: la figure G, sera plus petite que le Cercle A; & par le Lemme précedent, on pourra infcrire un polygone régulier plus grand que G dans le Cercle A. Qu'on infcrive auffi dans le Cercle B, un femblable polygone regulier. Démonftration. Le polygone de A au polygone de B, a même raison, que le quarré de CD au quarré de EF, (par la 1.) c'est-à-dire, la même que G au Cercle B: Or la quantité G eft plus petite que le polygone infcrit dans A: ainfi ( par la 14. du 5.) le Cercle B feroit plus petit que le polygone qui y eft infcrit, ce qui est évidemment faux. Il faut donc dire que la figure G moindre que le Cercle A, ne peut pas avoir même raison au Cercle B, que le quarré de CD au quarré de EF: & par confequent, que le Cercle A n'a pas plus grande raifon au Cercle B, que le quarré de CD au quarré de EF. Il ne l'a pas auffi plus petite,parce que le Cercle B au Cercle A, auroit plus grande raifon; & on lui appliqueroit la même démonstration. Corollaire 1. Les Cercles font en raifon doublée de celle de leurs diametres; parce que les quarrez étant des figures femblables, font en raifon doublée de celle de leurs côtez (par la 20. du 6.) Corollaire 2. Les Cercles font en même raifon, que les polygones femblables qui y font infcrits. Corollaire 3. Il faut bien remarquer cette regle generale: Quand des figures femblables, infcrites dans d'autres ; de telle forte qu'elles s'en approchent toujours davantage, & qu'elles dégenerent enfin en ces figures, font toujours en même raifon les figures qui les comprennent, font auffi en même raifon. Je veux que fi de femblables polygones ré dire |