.nat bb cd

6

4. Il y a des quantitez Algebriques plus composées que celles dont on vient de parler ( no. 1, 2, 3 ; ) & que l'on ne peut exprimer geometriquement, qu'aprés y avoir fait certains changemens. Or ces changemens consistent particulierement à mettre l'expression Algebrique d'un quarré en la place de l'expression Algebrique d'un rectangle, ou de mettre l'expresion Algebrique d'un re&tangle dont un côté soit donné en la place d'un autre rectangle , ou d'un quarré. Ainsi pour exprimer geometriquement cette quantité fractionnaire ,donc le numerateur n'est point le produit de deux quantitez que l'on puisse separer par la division ; & qui ne peut par consequent être réduite en analogie ; il faut donc changer le quarré Algebrique bb, en un rectangle done un coté soit a, & le rectangle Algebrique cd, en un au. tre re&angle Algebrique , dont un côté soit aulli a, afin que la lettre a fe trouve dans tous les termes. Soit pour ce sujet x , le côté du rectangle qui doit être égal å bler, dont l'autre côté est la ligne donnée, exprimée par a; l'on aura , selon les termes de la question, ax=bb; donc

; ayant donc (no. 1) exprimé geometriquement

& l'ayant nommée f ; l'on aura f=x; & partant af=bb. Soit semblablement y le côté du rectangle qui doit être égal à cd, dont l'autre côté est la même don. née a ; l'on aura ay=cd ; doncy=*: & ayant nommég l'expreslion de trouvée ( no. 1); l'on aura ag =id; la quantité précedente sera donc changée en celle-ci, aat af ag

en mettant pour bb , & pour cd, leurs valeurs af ; & ag que l'on vient de trouver', qui est facile à exprimer ; puisqu'on la peut à present réduire

bb

bb

E

en l'analogie suivante b..::a+f-8. auroit pû changer le quarré aa , & le rectangle cd, au lieu que l'on a change bb , & cd. s.

Pour exprimer la quantité Vaa--be, il faut changer le quarré aa en un rectangle, dont un côté soit b ou c; ou bien le rectangle bc en un autre, dont un côté soit & on en aura ensuite facilement l'expression geometrique (no. 2 ). Il en est ainsi des autres.

6. Les manieres dont nous venons de nous servir pour exprimer geometriquement les quantitez Algebriques font generales : on les peut souvent abreger par le moyen de quelques lignes menées paralleles à quelques autres lignes données de position , ou en décrivant quelques cercles, selon que l'indique la figure de chaque Probleme que l'on construit:mais comme ces manieres sont par. ticulieres, on n'en peut rien dire ici, cela dépend du genie du Geometre , qui veut résoudre & construire les Problêmes le plus élégamment qu'il lui est possible. On les trouvera pratiquées dans plusieurs exemples.

CONSTRUCTION

Des Equations déterminées du premier degré, e de celles du second qui n'ont point

de second terme. N voit clairement que les expressions geo

metriques des quantitez Algebriques, donnent aufli la résolution des équations du premier degré, & de celles du second, qui n'ont point de second terme ; car si ces mêmes quantitez étoient égalées à des lettres inconnues, leur valeur seroit déterminée expressions. Par exemple, pour construire cette équation

7.

xx=aa— bc, d'où l'on tirex=+Vaa--be, il n'y a qu'à .exprimer Vaa—bc, comme on vient de faire ; & l'ex. pression prise de part & d'autre, de l'origine de x sera sa valeur positive , & negative. Il en est ainsi des autres.

CONSTRUCTION

Des Equations du second degré, qui ont un

second terme. VI. VIL

Es Equations du second degré qui ont un se

cond terme se peuvent toutes réduire à quel. qu'une des quatre formules suivantes.

4. Xx=-ax--66, dont les racines sont ,

CONSTRUCTION

de la premiere e feconde Formule. 1. Pour la

Our la premiere & la seconde Formule. Soit dans la figure sur laquelle on opere, & d'où l'on a tiré l'équaF16.14. tion que l'on veut construire, A le commencement de x & is. qui va vers H. Ayant élevé au point A la ligne AB per

pendiculaire à AH, &=b racine du dernier quarré bb; on prendra AC ( Fig. 14.) = adu côté de H, par rapport à A pour la premiere formule où il y a +a;& de l'autre côté de H (Fig. 15) pour la feconde formule, où il y a - 5 & du centre C l'on décrira par B , le cercle DBE, qui coupera AH en E , & en D. Je dis que AE sera la valeur positive dex, & AD sa valeur nega

DEMONSTRATION. PUISQUE AC=, & AB=b;CB=CE sera =Vaa+bb; & par consequent x=AE=+a+

a;

tive.

Verant.56. C. Q.F. D.
On

de même que AD', est la valeur negative de « qui doit être prise de l'autre côté de A par rap

prouvera de même port à H.

CONSTRUCTION

de la troisiéme en quatriéme Formule. F1 G. 13. 1. SOIt A le commencement de x qui va vers P.

Ayant pris AC du côté de P, par rapport à A pour la troisiéme Formule , où il y a + (Fig. 13.) ; & de l'autre côté de P sur le prolongement de AP pour la qua

& 16.

triéme formule, où il y a - a (Fig. 16 );

a (Fig. 16); l'on décrira du centre C & du demi diametre CA La le demi cercle AHB, on élevera ensuite CH perpendiculaire à AB, sur laquelle ayant pris CG=b, racine du dernier quarré, on menera EF parallele à AB, qui coupera le demi cercle aux points E & F, d'où l'on abaissera les perpendiculaires FD, El. Je dis que AD & AI, seront les deux valeurs positives de x! Fig. 13 ), pour la troisiéme Formule; négatives ( Fig. 16 ), pour la quatriéme.

DE'MONSTRATIO N. PuisQUE AC OU CF=,& CG=b;GF, ou CD sera=via

aambb,& par consequent AD =x=+ +Vaa—bb, & Al=*=*; a IV aa – bb, lesquelles valeurs sont toutes deux réelles & positives dans la Fig. 13. qui appartient à la troisiéme Formule, & toutes deux réelles, mais négatives dans la Fig. 16 qui appartient à la quatriéme Formule. C. Q.F. D.

1

2

REMARQUE Sib=CG est= 3.

2=CH,le point G tombera en H, les points D & I en C, & les deux valeurs de seront égales.

4. Si CG est plus grande que CH; les deux mêmes valeurs de x seront imaginaires , & le Probleme sera impossible. Ce qui se connoît aussi par l'inspection des deux Formules

que

l'on construit. s. On peut encore construire ces équations, en faisant évanouir le second terme , aprés quoi on trouvera les valeurs de l'inconnue par l'art. 5. no.2.