Pl

Fig. 6.

& 7.

égal au Cercle qui fert de bafe au Cylin dre, puifque DE eft égal à fa circonference, & que GD eft égal au rayon par le Lemme précedent: or comme ce Triangle n'eft que le quart du rectangle FE; il s'enfuit que puifque le rectangle FE, eft égal à la furface du Cylindre, que la furface du Cylindre eft quadruple de celle du Cercle de fa base.

LEMME V.

La furface d'une pyramide droite, eft éga-
le à celle d'un Triangle, qui a pour ba-
fe une ligne égale au circuit de la base de
la pyramide, & pour
pour hauteur une li-
gne égale à la perpendiculaire, tirée du
fommet de la pyramide fur un des côtez
du polygone de la base.

Oit la pyramide X, qu'on fuppofe avoir pour base un hexagone régulier; cela étant, la furface de cette pyramide fera compofée d'autant de Triangles AB C, comme il y a de côtez dans la bafe, c'eft-à-dire, elle fera compofée de fix Triangles ifoceles,qui auront chacun pour hauteur la ligne AD; mais comme ces fix Triangles font égaux à un feul, qui au

roit pour base la fomme de toutes les bafes, & pour hauteur la ligne AD; il s'enfuit donc que la furface d'une pyramide eft égale à celle d'un Triangle, qui a pour bafe le circuit du polygone qui lui fert de base, & pour hauteur la perpendiculaire tirée du fommet de la pyramide fur un des côtez du polygone de la bafe.

Fig. 7.

Or comme les Cones ont des Cercles Pl. 3. pour bases, & que ces Cercles peuvent & s. être confiderez comme des polygones d'une infinité de côtez, on peut dire de même que la furface d'un Cone tel que A DE, eft égale à un Triangle FHK, dont la bafe HK eft égale au Cercle, dont DE eft le diametre, & dont la hauteur FH eft égale à la ligne AD. J'ajoûterai encore que fi le Cone ADE étoit tronqué, que la furface de la partie tronquée BCDE, eft égale au trapeze NOKH,pourvû que la hauteur NH foit égale à la ligne BD de la partie tronquée du Cone; cela eft trop clair pour demander de plus grandes démonftrations.

S

LEMME VI.

I l'on divife la hauteur FH du Trian- Pl. 3. gle rectangle FHK, qui peut paffer Fig. 8.

Fl. 3.

pour la furface d'une pyramide en deux également, au point C, & qu'on tire à la bafe HK la parallele CD, le rectangle compris fous FH & CD, fera égal au Triangle FHK, ce qui eft bien évident; car puifque les deux Triangles FCD & FHK font femblables, le côté FC étant la moitié du côté FH, CD fera la moitié de la bafe HK.

J'ajoûterai encore que fi l'on divife en

Fig. 9. deux également au point L, la hauteur NH du trapeze NOHK, & que NOHK, & que du point L, on tire la parallele LM à la bafe HK, que le rectangle compris fous NH & LM, fera égal au trapeze NOKH ; par ; par confequent à la furface du Cone tronqué BC DE, ce qui s'entendra aifément, fi l'on confidere que le Triangle MQK, est égal au Triangle OPM.

Pl. 3.

Fig. 10.

Définition.

Spheroïde eft un folide formé par la circonvolution d'un polygone régulier fur fon diametre, ainfi fi l'on imagine que le Décagone Z, eft tourné autour de fon diametre FA, on aura un folide qui fera compofé de plufieurs autres;car le Triangle ifocele EFG, aura décrit un Cone, le trapeze DEGH, aura décrit un Cone tronqué, & le rectangle CDHI, aura: décrit un Cylindre.

AVERTISSEMENT.

Avant de lire le Theorême fuivant,il eft bon de faire attention que tout polygone régulier circonfcrit autour d'un Cercle touche le Cercle à chacun de fes côtez, & que le point où le Cercle touche, chaque côté du polygone eft au milieu de ce côté, ceci doit s'être remarqué dans le 4. livre.

THEOREME XIX.

Chaque furface des portions d'un Spheroïde eft égale au rectangle, fait de la partie de l'axe à laquelle elle répond, & de la circonference du grand Cercle de la Sphere inferite dans ce Spheroïde.

I

Pl. $.

L faut s'imaginer que le Décagone Z, & le Cercle autour duquel il eft cir- Fig. 1. confcrit ont fait une circonvolution autour de l'axe FA, le polygone décrira un Spheroïde, & le Cercle une Sphere, qui fe trouvera infcrite dedans ce poliedre; cela pofé, je dis que la furface de la partie EFG, qui eft un Cone, eft égale au rectangle compris fous la partie de l'axe FN, & fous la circonference du Cercle, dont

1

Pl. 3. Fig. 12.

LM eft le rayon, qui eft auffi celui de la fphere; de même la furface de la partie DEGH, qui eft un Cone tronqué, est égale au rectangle compris fous la partie de l'axe NO, & fous la circonference du Cercle, dont LM eft le rayon ; & enfin que la furface de la partie CDHI est égale au rectangle compris de OP, & du Cercle, dont LM eft le rayon.

Démonftration.

Pour la Partie de CDHI. Comme cette partie eft un Cylindre, & que la ligne LM eft égale au demi diametre du Cercle qui lui fert de base, il n'y a point de doute que la furface de la partie DHIC, ne foit égale au rectangle de OP, & de la circonference, dont LM eft le rayon.

Démonftration.

Pour la Partie de DEGH.

Afin de ne point embroüiller la figure, j'ai rapporté cette partie en particulier, auffi bien que l'autre EFG, afin de rendre les démonstrations plus claires ; ainsi dans la figure douzième, je partage ce Cone tronqué par la moitié, menant CM parallele à FK & à EL; je mene auffi GE parallele à KL, à laquelle elle eft égale. Les Triangles EFG & ACD font rectangles, ainfi les angles GFE & GEF valent