les on la voit réfulter, comme SP eft à chacune de leurs proportionnelles AC, AB, KM, SN; & ainfi de tant d'autres qu'on voudra, ainsi qu'on le vient d'avancer. COROLLAIRE XI.

Suivant cela le corps EFGH ici pouffé ou tiré fuivant SP par le concours des puiffances E, F, G, H, dirigées fuivant AC, AB, KM, SN, & en même raison entr'elles que ces côtez des parallelogrammes BC, MR, NQ, l'eft de même ( Ax. 2.) qu'il le feroit par une feule puiffance dirigée de S vers P fuivant cette derniere diagonale SP, & qui fût à chacune des précedentes E, F, G, H, comme SP eft à chacune de leurs proportionnelles AC, AB, KM, SN; puifque (Cerol. 10.) cette nouvelle puiffance fuivant SP, feroit égale à la résultante en ce Tens du concours d'action de toutes celles-là.

COROLLAIRE XII.

Donc fi l'on place en quelque point X de rencontre du corps EFGH par la derniere diagonale SP, un appui ou une puiffance directement contraire fuivant XS à la force refultante du concours des précedentes E, F, G, H, fuivant cette derniere diagonale SP, & d'une puiffance ou force égale à cette refultante; cet appui ou cette puiffance X (Corol. 1. du princ. gener.) retiendra le tout en équilibre ou en repos: & reciproquement,fi cẹt appui ou cette puiffance contraire retient ainfi le tout en repos, il faut (4x. 4.) que lui ou elle foit d'une réfiftance ou force égale à la réfultante du concours des puiffances E, F, G, H, & fuivant la ligne de direction PS de cette force réfultante à contre-fens.

COROLLAIRE XIII.

F10.4.5 Lorfque toutes les forces concourantes E, F, G, H, fe réduisent à deux E, F, comme dans les Fig. 4. 5.6.7. du prefent Lem. 3. alors AD étant la premiere & la derpiere des diagonales trouvées dans le Corol. 1o. ce qu'on

vient de voir de SP dans les Fig. 9. 10. fe doit dire aufft de AD dans les Fig. 4. 5. 6. 7. Par confequent (Corol. 12.) fi l'on place en quelque point X de ceux où la diagonale AD rencontre le corps EFGH, un appui ou une puiffance directement contraire fuivant AD à la force réfultante du concours des deux E, F, fuivant la même AD, & d'une résistance ou force égale à cette résultante à contre-fens; cet appui ou cette puiffance X retiendra le tout en équilibre conformément au nomb. 4. du Corol. 1. Et reciproquement fi le tout eft ainfi retenu en équilibre par cet appui ou par une puiffance, cet appui doit être d'une réfiftance, ou cette puiffance d'une for-ce égale à la résultante du concours des puiffances E, F, & fuivant la direction DA de cette force résultante à contre-fens. D'o l'on voit que cet appui ou la puissance fubftituée en fa place contre la force réfultante du concours des puiffances E, F, doit être alors dans leur plan, c'est-à-dire, avoir fa résistance dans le plan des directions des puiffances E, F, & une direction qui paffe à travers l'angle BAC de celles-là.

COROLLAIRE XIV..

Donc auffi trois puiffances E, X, F, appliquées comme l'on voudra à un même corps DE ne peuvent demeurer en équilibre entr'elles, & le tenir ainfi en repos, à moins que leurs trois directions ne paffent le long d'un même plan, par un même point, chacune à travers l'angle compris entre les deux autres; ce qu'on verra dans la fuite s'étendre jufqu'au parallelifme de ces trois dire&tions entr'elles: puifque celle X de ces trois puiffances qui réfiftera feule aux deux autres, doit ( Corol. 1 2. ) avoir pour cet équilibre une direction qui foit la même à contre-fens que celle AD de la force réfultante duri concours des deux autres E, F, & confequemment une direction XA qui ( comme AD) paffe par le concours A des directions AC, AB, de ces deux autres puiffances E

F, dans le plan de ces deux directions-ci, & à travers leur angle BAC.

COROLLAIRE XV.

D'où l'on voit que fi un fi un poids BCGH, dont DX foit la direction de la pefanteur qu'on lui fuppofe prefentement, eft foutenu par deux puiflances E, F, avec des cordes EC, FB; la direction DX prolongée de ce poids ainfi en équilibre avec ces deux puiffances, paffera toûjours par le concours A de leurs directions prolongées EC, FB, dans leur plan, & à travers leur angle BAC; puifque fans cela ces deux puiffances E, F, & la pefanteur de ce corps, qui en eft une troifiéme, ne feroient point ( Corol. 14.) en équilibre entr'elles ; ce qui eft contre l'hypothese.

Ce fera la même chose (Ax. 2.) fi au lieu des deux puiffances E, F, on fuppofe deux clous en leur place, aufquels leurs deux cordes foient accrochées.

COROLLAIRE XVI

Donc auffi le poids BCGH de la Fig. 1 2. fufpendu à un feul clou A par le moyen de deux cordes CA, BA, qui y feroient accrochées, n'y peut être en équilibre ou en repos que lorfque fa direction DX paffera par ce point de concours A, puifque (Ax. 2.) ce clou ou crochet A réfifteroit ici fuivant AC, AB, au poids BCGH, comme feroient les deux puiffances E, F, en équilibre avec lui, fi toutes deux en ce point A, elles lui étoient, appliquées fuivant les mêmes directions EC, FB.

COROLLAIRE XVII.

De même dans la Fig. 1 1. les puiffances E, F, résistant au poids BCGH par le moyen des cordes EC, FB, comme feroient (Ax. 2.) deux pieux AG, AH, fuivant les mêmes directions; ce poids BCGH ne peut demeurer non plus (Corol. 15.) en équilibre ou en repos fur ces deux pieux appuyez en A, que lorsque la direction DX passera

par

par ce point de concours A, fur lequel on suppose ces deux pieux mobiles fans pouvoir gliffer.

COROLLAIRE XVIII.

Il en feroit de même non feulement dans la Fig. 1 1. fi ces deux pieux, au lieu d'être appuyez en A, l'étoient en M,N, fur un plan ou furface fixe quelconque PQ, fur laquelle ils ne puffent que fe mouvoir autour de ces deux points M, N, fans gliffer; mais encore dans la Fig. 12. fi MG, NH, y étoient deux pieux ainfi appuyez en M,N, fur la furface fixe PQ, & que leurs directions concouruffent en A: on prouvera, dis-je, de même encore que le poids BCGH, ne peut point du tout être en repos fur ces deux pieux des Fig. 11. 12. foit que les directions de ces pieux concourent haut ou bas, à moins que celle DX de ce poids ne paffe par leur point de con

Cours A.

COROLLAIRE XIX.

FIG. IN

Si l'on imagine prefentement en équilibre entr'elles F1 G. 13ẻ quatre puiffances E, H, G, F, appliquées à autant de cordons CE, CH, BG, BF, attachez deux à deux aux extrêmitez C, B, d'une autre corde, ou verge CB, & qui prolongées concourent auffi deux à deux en deux autres points quelconques AD; il fuit encore du précedent Corol. 14. que l'effort résultant du concours d'action des deux puiflances H, G, de directions concourantes en D, & le réfultant du concours d'action des deux puiffances E, F, de directions concourantes en A, au¬ ront DA pour direction commune en fens contraires ; puifque l'effort réfultant du concours d'action en D des deux puiffances H, G, en équilibre (Hyp.) avec les deux autres E, F, fait la fonction d'une nouvelle puiffance qui égale à lui, & appliquée en D fuivant fa direction, feroit feule équilibre avec ces deux-ci E, F, & que reciproquement l'effort réfultant du concours d'action en A de ces deux dernieres puiflances E, F, fait la fonction

F

d'une nouvelle puifance, qui égale à lui, & appliquée en A fuivant fa direction, feroit feule équilibre avec les deux autres puiffances H, G.

Ce raisonnement conviendra également à tout ce qu'on voudra exprimer d'autres cas de ce Corol. 19. par rapport à ce les points A, D, peuvent avoir de pofitions differentes de celles qu'on leur voit dans la prefente Fig. 13. qui feule fuffit ici, les autres étant aifées à imaginer fur elle.

que

Deux clous ou crochets en E, F, à la place des deux puiffances de ces noms réfiftant (Ax. 2.) comme elles aux deux autres puiffances H, G, il fuit du précedent Corol. 19. que la direction de l'effort résultant du concours d'action de ces deux dernieres puiffances H, G, pafferoit toûjours du concours D de leurs directions par le concours A des directions des cordons accrochez aux crochets supposez en E, F.

SCHOLIE.

I. N'y ayant dans une queftion que ce qu'on y fuppofe, il eft vifible que ne fuppofant dans le prefent Lem. 3. aucune résistance differente de ce que les puiffances fuppofées s'en peuvent faire l'une à l'autre comme dans la Part. 3. de ce Lemme, ce feroit fortir de la question, que de vouloir en confiderer ici d'autre que celle-là. Il ne faut cependant pas dire pour cela cela que les mouvemens précedens n'étant tels qu'on les vient de démontrer, que dans le vuide, le rapport des forces qu'on en a conclu ne feroit d'aucun ufage dans un milieu réfiftant; puisque l'équilibre qu'on en verra résulter dans la fuite conformément au Corol. 1. du principe general, fe feroit dans le plein comme dans le vuide, le plein ne résistant qu'au mouvement, & non au repos: de forte que fi deux ou plufieurs forces appliquées à un même corps, fe foûtenoient mutuellement en équilibre fur ce corps en repos dans un espace vuide, elles s'y foûtiendroient appli