il n'y a que deux diametres conjugués Mm, Ss, qui fatisfaffent, lefquels font égaux entr'eux.

3°. Que lorfqu'il eft moindre, comme dans les fig. 28. & 29. il y a toûjours deux differens diametres conjugués qui fatisfont également ; qu'ils font femblablement pofés de part & d'autre du petit axe, cet angle demeurant le mê. me entr'eux; & que leur grandeur demeure auffi la même dans ces deux differentes pofitions.

PROPOSITION XIII

Problême.

69. DEUX diametres conjugués Aa, Bb, d'une Ellipfe étant donnés la décrire par un mouvement continu.

PREMIERE MANIERE.

On cherchera* les deux axes, & on la décrira en- * Art, 64. fuite felon l'article 36.

SECONDE MANIER E.

par

Ayant mené l'une des extremités A de l'un des FIG. 31. & diametres donnés Aa, une perpendiculaire AH fur l'au- 32. tre Bb, on prendra fur cette ligne la partie AQ de part ou d'autre du point A égale à CB. Et aïant tiré la ligne CQ, on fera gliffer la ligne GF égale à HQ par fes extremités le long des lignes Bb, CQ(prolongées de part & d'autre du centre C autant qu'il fera neceffaire) jufqu'à ce qu'aprés avoir parcouru fucceffivement les tre angles faits par ces deux lignes, elle revienne dans la même fituation d'où elle étoit partie. Je dis que fi l'on prend GM égal à AQ, le point м décrira dans ce mouvement l'Ellipfe requise.

qua

Car menant GP parallele à QA, qui rencontre en P le diametre Aa, & en O le diametre Bb; les triangles femblables CHQ, COG, & CAQ, CPG, donneront CQ. CG:: AQ ou GM. GP :: HQ ou GF. GO. Et confequent la ligne PM fera parallele au diametre Bb. Cela pofe.

Fij

par

55.

Si l'on nomme les données CA, t; AQ ou CB on Cb, c; & les inconnuës CP, x; PM, y; on aura CA

(t) CP ( x) :: AQ (c). GP=. Et le triangle réctan

21

2

gle GPM donnera PM —GM —GP3, c'est à dire en

CCXX
tt.

termes analytiques yy-cc-. La ligne PM fera *Art.41.& donc * une ordonnée au diametre Aa dans l'Ellipfe qui a pour diametres conjugués les lignes Aa, Bb. Donc &c. Si les deux diametres conjugués Aa, Bb, étoient les deux axes, il eft clair que les lignes AQ, CQ, tomberoient fur le diametre Aa qui feroit l'un des axes, & que le point H tomberoit fur le centre C. D'où l'on voit qu'il faudroit prendre alors GF égale à CQ, fomme ou difference des deux demi-axes CA, CB; & la faire gliffer par ses extremités le long des axes Aa, Bb, prolongés

FIG. 33

s'il eft neceffaire.

Comme les lignes Aa, Bb, s'entrecoupent à angles droits au point C; il eft clair qu'en quelque fituation que se trouve la droite G F pendant qu'elle gliffe le long de ces lignes, le cercle qui auroit cette ligne pour diametre, pafferoit toûjours par le point C; & qu'ainfi la ligne CD qui paffe par le point D milieu de FG, fera toujours égale à DF, puifque les lignes CD, DF, DG, seront toujours des raïons de ce cercle. Delà naît la def cription fuivante..

Soient deux lignes droites CD, DF, égales chacune à la moitié de CQ, fomme ou difference des deux demiaxes CB, CA; attachées l'une à l'autre par leur extremité commune D, en forte qu'elles fe puiffent mouvoir autour de ce point, comme les jambes d'un compas autour de fa tête. Soit attachée l'extremité C de la droite ED dans le centre de l'Ellipfe, & foit entendue l'extremité F de l'autre droite FD, fe mouvoir le long de l'axe Bb, en entraînant avec elle la ligne DC mobile autour du point fixe C. Il eft clair que fi l'on prend fur. FD (pro longée, s'il eft neceffaire) la partie. FM égale à CA, le.

point M décrira dans ce mouvement l'Ellipfe qu'on cherche.

PROPOSITION XIV.

Problême.

70. DEUX diametres conjugués Aa, Bb, d'une Ellipse tant donnés ; la décrire par plufieurs points.

PREMIERE MANIERE.

FIG. 34:

Ayant mené par l'une des extremités A de l'un des diametres donnés Aa, une parallele indéfinie DAD à fon conjugué Bb, on tirera 40 perpendiculaire à AD, & égale à la moitié CB du diametre Bb; on joindra OC; & on décrira un cercle du centre 0, & du raïon 04. Cela fait on menera librement de part & d'autre de CA, autant de lignes CD, CD, &c. qu'on voudra; & ayant tiré des points D, D, &c. où elles rencontrent la ligne DAD, au centre 0, les lignes DO, DO &c. qui coupent la circonference du cercle aux points N, N, &c. on menera des droi tes NM, NM, &c. paralleles à OC, lefquelles rencontrent aux points M,M,&c. les droites correfpondantes CD,CD, &c. fur lefquelles on marquera de l'autre côté du centre C des points m, m &c. qui en foient également éloignés. Il eft évident que la ligne courbe qui paffera par * Art. 63. tous les points M, M, &c; m, m, &c. ainfi trouvés, aura pour diametres conjugués les droites Aa, Bb.

*

SECONDE MANIER E.

Ayant pris fur l'un des demi-diametres CB, de peti- F16.35 tes parties CE, EE, &c. égales entr'elles, de telle grandeur qu'on voudra, & autant que ce demi-diametre en pourra contenir; on lui menera les perpendiculaires ED, ED, &c, qui rencontrent la circonference circulaire décrite du centre C & du raïon CB, aux points D, D, &c. Ayantjoint AB, on tirera par celui des points E,qui eft le plus proche du centre C, la ligne EP parallele à AB,