décrire la premiere, elles seront les valeurs geometriques de l'inconnue de la troisiéme équation, fi certe inconnue est celle des ordonnées ; les coupées qui se terminent à ces ordonnées seront les valeurs geometriques de l'inconnue de la troisiéme équation, si c'est l'inconnue des coupées qui y soit demeurée. Ce principe répand une lumiere sur la methode que donne l'Analyse pour trouver les équations des lignes geometriques, qui prises deux à deux sont propres à

, construire delle équation déterminée qu'on voudra; & pour joindre ensemble ces deux lignes geometriques d'une maniere propre

à les faire couper dans les points qui auront pour

ordonnées ou pour coupées les lignes qui font les valeurs geometriques de l'inconnue de cette équation déter- . minée ; il répand, dis-je, une lumiere sur cette methode qui la rend claire aux commençants, quoiqu'elle soit tres courte. On prend pour exemple la construction de toutes les équations du croisiéme & du quatrième degré, & l'on fait voir la maniere de l'executer par l'union d'une parabole donnée &du cercle ; & encore par l'union d'une hyperbole donnée entre les afymptores dont l'angle est aigu ou obtus, & du cercle. On a mis cette derniere maniere de construire toule tes les équations du troisiéme & du quatrième degré, parcequ'elle renferme quelques difficultés qui auroient pû embaraffer les commençants. On

pourra encore remarquer en cet endroit l'exacte convenance de l'Analyse & de la Geometrie. Il y a autant d'intersections des deux lignes geometriques employées à construire l'équation, qu'il y a de valeurs analytiques de l'inconnue de cette équation. Quand routes les valeurs que fournit l'Analyse sont positives & differentes, les lignes qui en sont les valeurs geomecriques sont toutes differentes, & du côté des lignes. positives. Lorsque l'Analyse donne des valeurs négatives, les valeurs geometriques sont du côté des lignes negatives. Quand le second terme de l'équation est évanoui, la somme des valeurs négatives que donne l'Analyse est égale à celle des positives; l'on trouve aussi dans la construction geometrique, que la somme des lignes du côté des grandeurs négatives est égale à celle des lignes qui font du côté des positives. S'il y a des valeurs analytiques égales, l'on trouve autant d'intersections des lignes

a

ز

geometriques qui se réunissent ensemble. Enfin dans les cas où l’Analyse trouve des valeurs impossibles, les lignes geometriques employées à la construction ne se coupent ni ne fe touchent point du côté que devroient être les valeurs geometriques correspondantes.

On explique à la fin de la même quatrieme Section quel. ques usages des courbes pour la resolution des Problemes Physico-mathematiques. On fait voir que les traces des bombes jettées à toutes les inclinaisons possibles du mortier, sont des paraboles. On tire d'ordinaire des proprietés de la parabole la resolution des Problemes de l'art de jetter les bombes : mais comme l'on a resolu ces Problemes dans la seconde Section sans se servir de la parabole , on donne la resolution de deux autres Problêmes sur toutes les parabo

décrire une bombe jetcée par une même force de poudre à toutes les differentes inclinaisons qu'on peut donner au mortier. On fait voir aussi dans la même Section que l'ellipse & l'hyperbole font les figures qu'il faut donner aux verres, afin que les rayons qui y entrent paralleles à l'axe soient disposés, par les refractions qu'ils souffrent en passant de l'air

dans les verres, ou des verres dans l'air, à se réunir dans un point donné. Enfin on fait découvrir par l'Analyse , que la cycloïde est la courbe que le centre de pesanteur d'un pendule simple, ou le centre d'oscillation d'un pendule composé doit décrire , afin que ses vibrations grandes ou pecites soient toutes d'une égale durée : ce qui fait concevoir qu'un tel pendule est ce qu'il y a de plus propre à moderer le mouvement des horloges, & à les rendre la mesure exacte du temps.

les que peut

Sur le calcul differentiel, & fur l'usage de l'Analyse

en se servant de ce calcul. N fait remarquer dans la premiere Section, que ce n'est (

de confiderer des parties de grandeur d'une si extrême peticesle, qu'on ne peut les faire entrer en comparaison avec les gran.

que les

deurs ordinaires que l'on peut déterminer. Les plus anciens Geometres, comme on le voit dans le douziéme Livre d'Euclide, & dans les Ouvrages d'Archimede, ont pris ces parties infiniment pecices pour principe de quelques - unes de leurs démonstrations. Câr pour démontrer, par exemple, que deux cercles sont entr'eux comme les quarrés de leurs diamecres, & deux circonferences comme leurs diametres; ils ont suppose qu'on pouvoit concevoir dans l'un & l'autre de ces cercles deux polygones semblables inscrits, ou deux polygones semblables qui leur fussent circonscrits, dont les côtés fussent d'une telle petitele, que la difference des polygones inscrits ou circonscrits d'avec leurs cercles fût moin. dre qu'aucune grandeur finie & déterminée, quelque petite que pût être cette grandeur. Orces polygones érant entr'eux comme les quarrés des diametres des cercles, & leurs cir. cuits comme ces mêmes diametres ; la supposition qu'ils avoient faite leur faifoit conclure que les cercles & les circonferences avoient le même raport que les aires & que circuits de ces polygones.

Ce n'a donc point été de nos jours une nouvelle découverre que d’employer dans la Geometrie ces parties des grandeurs entieres, si petites qu'elles n'ont aucun

raport fini avec elles. Ce que les illustres Auteurs du calcul differentiel & integral ont ajouté à cette supposition que les Anciens ont prise de la nature, n'a été que de donner des expressions convenables à ces petites parties qui sont les premiers élements des grandeurs ; & de trouver un calcul qui leur fût rellement propre , qu'on pût leur appliquer les methodes de l’Analyse, & qu'on pût remonter de ces parties infiniment petites aux grandeurs encieres ou integrales dont elles sont les premiers elements. Le fondement du calcul differenciel est commun aux anciens & aux nouveaux Geometres. La certitude des démonstrations posées sur ce fondement est la même. La maniere même d'employer, dans les dénionftracions & dans les refolutions des Problêmes , ces parties des grandeurs plus petites que toure grandearqu'on peut déterminer, est commune aux uns & aux autres. Car comme les Anciens ne fuppofoient cette difference infiniment pecite entre le cercle & le polygone d'une infinité de côtés qui lui étoit inscrit ou circonscrit, que pour faire leur démonstra

rion ; qu'ils ne la concevoient subsistante que pendant la démonstration ; & qu'au moment qu'ils l'avoient faire, ils regardoient cette difference.comme devenant nulle, & que le polygone inscrit ou circonscrit, qui étoit pour ainsi dire l'infinitiéme, ne differoit en rien du cercle: Les nouveaux Geometres n'employent aussi les mêmes differences infiniment petites que pendant la resolution des Problêmes; ils ne les conçoivent réelles & subsistantes que pendant leur calcul; & au moment qu'il leur a donné la resolution, ils supposent que les differences s'évanouissent & deviennent nulles, & que les grandeurs qu'ils supposoient ne differer des grandeurs entieres qu'ils cherchoient que par des differences infiniment petites, n'en different point du tout. La certitude du calcul differentiel doit donc être au même degré que celle des démonstrations des anciens Geometres qui avoient le même principe, & qui ont été reçues de tout le monde. La seule difference est que les Anciens ne faisoient sur ce principe que des démonstrations qu'on appelle per absurdum, & que les nouveaux calculs démontrent tout directement.

On apperçoit même distinctement, en y regardant de près, les secondes differences renfermées dans la supposition des Anciens, quoiqu'ils n'y fissent pas de reflexion, & qu'ils n'en eussent pas besoin dans leurs démonstrations. Car dans l'exemple qu'on a pris d'eux sur le polygone infcrit dans le cercle, qui devoit avoir tant de côtés que la diffe. rence de l'aire du polygone inscrit dans le cercle , fût plus petite que toute grandeur finie & déterminée ; il est évident qu'il falloit qu'ils conçusfent celui des polygones inscrits, qui étoit , pour ainsi dire, le dernier, comme ayant un nombre infini de côtés , autrement la difference de son aire d'avec le cercle eût été finie & déterminée, ce qui auroit détruit leur fuppofition : Or l'on conçoit distinctement que la difference de l'aire de ce dernier polygone d'avec le cercle, moindre, par la supposition, qu'aucune grandeur finie, étoit compofée du nombre infini des petits legments de cercle, dont les petits côtés du polygone étoient les cordes : C'est pourquoi ces petits segments étoient justement ce qu'on appelle des secondes differences dans les nouveaux calculs, puisqu'il y en avoit une infinité pour faire une premiere dif- .

ference, qui étoit celle de l'aire du polygone inscric d'avec l'aire du cercle.

Aprés avoir établi la supposition des parties des grandeurs plus petites qu'aucune grandeur finie, on donne les expres. sions de ces petites parties qu'on nomme differences ou differentielles. L'on a pris les expressions de M' Leibnits comme moins capables de causer des méprises dans les calculs & dans l'impression, & parcequ'elles soulagent davantage l'i. magination : On met ensuite le calcul des premieres differences, des secondes differences, des troisièmes, &c. C'est ce qu'on nomme le calcul differentiel.

On explique dans les trois Sections suivantes l'usage de l'Analyse en se servant du calcul differentiel. Mais comme l'on s'est proposé d'être court dans ce Volume des Usages de l’Analyse , & d'y apprendre cependant à fond aux commençants la maniere de découvrir les principales proprietés de coutes les courbes; on a réduit à des formules generales les Problemes qui les font trouver. Ces Problêmes sont de deux sortes ; la resolution complete des uns dépend du seul calcul differentiel ; la resolution des autres se commence par le calcul differentiel, & s'acheve par le calcul integral. On fait découvrir aux Lecteurs dans la seconde Section les formules pour resoudre les Problêmes qui ne dépendent que du calcul differentiel, comme les formules pour trouver les tangentes, les soutangentes, les perpendiculaires, les souperpendiculaires de toutes les courbes , & les autres lignes qui ont rapport à celles qu'on vient de nommer; les formules pour trouver les ordonnées & les coupées des points des courbes où l'es cangentes de ces points font paralleles aux coordonnées, ce qui comprend la resolution des Problemes sur les quantités qu'on nomme les plus grandes & les moindres ; les formules pour découvrir dans les courbes qui font en partie concaves, & en partie convexes, les points qui separent ces parties, qu'on nomme les points d'inflexion ; & dans les courbes qui rebroussent leur chemin, les points de rebrousfement. Enfin les formules pour trouver les developées de toutes sortes de courbes. Ces courbes developees fervent à former les courbes dont elles sont les developées, par le developement insensible d'un fil qu'on conçoit les enveloper. L'extrémité de ce fil, à mesure qu'il se develope, décrit les cour