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bes dont elles font les developées. Elles font devenues de grand usage dans la Geometrie compofée & dans la refolu. tion des Problêmes Phyfico-mathematiques depuis que M. Hugens en a fait la découverte. On donne des exemples pour apprendre aux commençants la maniere de fe fervir de toutes ces formules, & pour refoudre par leur moyen les Problêmes des courbes particulieres dont ces formules expriment la refolution generale,

On fait de même découvrir aux Lecteurs dans la troifiéme Section les formules generales pour refoudre les principaux Problêmes fur toute forte de courbes, dont la refolution fe commence par le calcul differentiel, & s'acheve par le calcul integral, comme les formules de la rectification des courbes, c'eft à dire, pour en trouver la longueur; celles qui fervent à mesurer leurs aires, qu'on appelle leur quadra ture; celles dont on tire la mefure des corps folides formés par la révolution des courbes autour d'une ligne droite prise pour axe fur le même plan; celles qui font connoître la me fure des furfaces courbes de ces folides; enfin celles qui font découvrir les centres de pefanteur des courbes, de leurs furfaces, des folides qui en peuvent être formés, & des furfaces courbes de ces folides. On fait voir auffi la maniere d'appliquer ces formules à l'usage par des exemples particuliers. On a eu foin de mettre parmi ces exemples les differentielles particulieres de la rectification & de la quadrature des Sections coniques, qu'on appelle les élemens de leur rectification ou de leur quadrature; afin de s'en fervir dans la troifiéme Partie pour faire concevoir clairement les methodes qu'on doit donner pour trouver, dans les cas où les methodes du calcul integral ne donnent pas les integrales exactes de quelques differentielles, pour trouver, dis-je, dans ces cas les integrales finies de ces differentielles, en les réduifant à la rectification ou à la quadrature des Sections coniques.

y

Les Methodes qu'on a expliquées au long dans le feptiéme Livre, font mifes en ufage dans la quatrième Section pour exprimer par des faites infinies les integrales des differentielles dont les Regles du calcul integral ne donnent pas les integrales exactes & finies. On auroit pu en donner une infinité d'exemples; mais on a choifi ceux qui fuffifoient pour apprendre aux commençants à s'en former eux-mêmes tant

qu'il

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pour

d'un

qu'il leur plaira, fans trouver d'autre peine dans l'application des Methodes, que celle du calcul, & qui pouvoient en même temps les inftruire de chofes neceflaires dans la Geometrie & dans les Parties Pratiques des Mathematiques. Un de ces exemples fur la rectification des arcs de cercle, fait découvrir une formule generale pour trouver, avec la corde ou le finus d'un arc donné, là corde ou le finus de tel autre arc qu'on voudra; cette formule peut fuffire faire par de fimples fubftitutions les tables des finus; & les Lecteurs peuvent trouver des formules femblables pour faire les tables des. tangentes & des fecantes. Un autre exemple fur la quadrature de l'hyperbole équilatere par raport aux afymptotes fait découvrir une formule pour faire, par de fimples fubftitutions, une table des logarithmes hyperboliques. L'on y explique ces logarithmes, la maniere de les reduire aux logarithmes ordinaires, & la maniere de trouver une formule, avec laquelle on puiffe, par le moyen logarithme donné, avoir le nombre dont il eft le logarithme. On explique de plus les logarithmes des lignes. On verra dans la troifiéme Section de la troifiéme Partie, qu'ils font d'ufage dans la Geometrie compofée. Enfin on fait voir que les mêmes methodes ne fervent pas feulement à trouver les fuites qui font les integrales des élements des courbes, de leur quadrature, des furfaces courbes, & des folides formés par la revolution des courbes; mais auffi les fuites qui font les valeurs connues des lettres inconnues qui entrent ou qu'on peut faire entrer dans ces élemens. On a mis pour exemple le Problême qui fait découvrir une formule pour trouver, par le moyen d'un fecteur quelconque d'ellipfe, dont le fommet eft à l'un des foyers, & dont l'un des côtés eft fur l'axe, l'ordonnée de l'arc de l'ellipfe qui eft la bafe du fecteur. Cette formule donne la refolution directe du Problême aftronomique que Kepler propofa à tous les Geometres de fon temps, & dont il ne put trouver qu'une refolution indirecte. Ce fameux Aftronome, qui est à prefent fort fuivi des Sçavants, fuppofe que les Planetes • décrivent des ellipfes par leurs mouvemens propres, & il le prouve en particulier de Mars par le moyen des obfervations. Il fuppofe que le temps moyen d'une revolution entiere doit fe mesurer par l'aire entiere de l'ellipfe, qu'on

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peut concevoir divifée en 360 fecteurs égaux, lefquels pris de fuite mefurent le temps moyen des parties de la revolution entiere; il nomme anomalie moyenne chaque fomme de ces fecteurs prife de fuite depuis l'axe d'où il comptoit ces fommes; il lui falloit, pour chacune de ces fommes, ou pour chaque anomalie moyenne, trouver l'angle que formoient au foyer les deux côtés du fecteur qui comprenoit chacune de ces fommes, il appelloit cet angle l'anomalie veritable ; c'est à dire, qu'il lui falloit trouver pour chaque lieu moyen de la planete, le vrai lieu de cette planete. La formule dont on vient de parler, fert à découvrir les deux côtés du triangle rectangle, dont l'angle, qui eft l'anomalie veritable, est l'un des angles aigus: ainfi elle fait trouver la refolution de ce Problême, qui peut fervir pour les tables astronomi

ques.

TROISIÈME

PARTIE.

Sur l'ufage de l'Analyse pour découvrir les regles du calcul integral, & fur l'usage que l'Analyse fait de ces regles.

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A methode de retourner des differentielles aux grandeurs entieres, qu'on appelle integrales, dont elles font les differentielles, eft ce qu'on nomme le calcul integral. Ainfi les principes fondamentaux de ce calcul dependent du calcul differentiel. On établit dans la premiere Section trois propofitions fondamentales du calcul integral, qui font des fuites neceffaires du calcul differentiel, & l'on en déduit, par le moyen de l'Analyfe, les regles du calcul integral pour trouver les integrales exactes des differentielles qui leur font foumifes. La premiere & la plus feconde de ces propofitions eft pour découvrir les integrales des differentielles qui n'ont qu'une même changeante. On enseigne aux commençants dans les Corollaires de cette propofition, la maniere de trouver les integrales des differentielles les moins compofées, & de toutes les grandeurs complexes, (dont les termes font diftingués par les differentes puiffances d'une même changeante,) élevées à une puiffance quel

conque dont l'expofant est un nombre entier pofitif. On leur fait remarquer qu'une integrale qui a un terme constant, c'est à dire fans changeante, donne la même differentielle que fi elle n'en avoit pas ; & qu'à caufe de cela une même differentielle peut avoir pour integrale la grandeur changeante dont elle eft déduite, augmentée ou diminuée de telle grandeur conftante qu'on voudra. Ainfi l'on a besoin de la regle, qu'on explique dans cette premiere Section, pour s'affurer dans la refolution des Problêmes particuliers, fi l'integrale qu'on trouve eft complete, ou s'il lui manque une grandeur conftante; & pour trouver, dans ce dernier cas, la grandeur conftante qu'il faut lui ajouter ou en ôter, pour la rendre complete.

genera

Aprés avoir apris la maniere de trouver les integrales dans les cas particuliers les plus faciles, en les reduifant à la premiere propofition, l'on donne des methodes les qui conviennent aux differentielles les plus compofées; Et comme les principales difficultés font fur les differentielles qui font compofées de grandeurs complexes, c'est à dire qui ont plufieurs termes, élevées à des puiffances dont les expofants font des nombres rompus, ou des nombres négatifs, on rapporte toutes ces fortes de differentielles à des formules generales, qu'on nomme binomes, quand la grandeur complexe n'a que deux termes; trinomes, quand elle en a trois, & ainfi de fuite. On enseigne à reduire les differentielles particulieres aux generales, & l'on donne trois methodes qui font découvrir des formules generales des integrales de ces differentielles. La premiere n'eft qu'un ufage de la table de la page 410, pour mettre les differentielles les plus compofées en état d'y appliquer la premiere propofition fondamentale: Cette premiere methode eft facile à concevoir; cependant les commençants peuvent la paffer dans les premieres lectures de cet Ouvrage, à cause de la longueur du calcul, & s'attacher à la feconde methode: Elle donne non feulement tous les termes des formules generales qui fervent à trouver les integrales exactes des differentielles qui leur font foumises, mais encore les termes qui fervent à trouver les integrales finies des differentielles qui n'en peuvent avoir d'exactes par les feuls termes des formules qui les donnent exactes; & cela par la fuppofition

des rectifications ou des quadratures des Sections coniques, ou du moins de celles des courbes plus fimples que ne font les courbes à qui appartiennent les differentielles dont on cherche les integrales finies. On applique d'abord cette feconde methode aux differentielles binomes; on l'étend enfuite aux trinomes, & les Lecteurs pourront l'étendre de fuite aux differentielles plus compofées. La troifiéme methode fait découvrir une formule generale pour trouver les integrales des differentielles complexes, qui ayent un tel nombre de termes qu'on voudra; elle en fait même découvrir pour les differentielles complexes multipliées les unes les autres. On donne deux manieres de trouver ces formules generales, qui font toutes deux utiles. Les formules que cette troifiéme methode fait découvrir conviennent aux differentielles binomes, trinomes, &c. en fuppofant égaux à zero les termes de ces formules qui font inutiles à ces differentielles. On fait voir la maniere d'appliquer ces formules aux differentielles particulieres.

par

On a mis vers la fin de la premiere Section les deux autres propofitions fondamentales du calcul integral, l'une n'est que pour les differentielles qui font un membre d'une équation dont zero est le second membre, l'autre eft pour trouver les integrales des differentielles qui ont plufieurs changeantes multipliées les unes par les autres; on donne des moyens pour reduire à cette propofition les differentielles qui peuvent s'y rapporter, mais comme il y en a un grand nombre qu'on n'y peut pas reduire, du moins facilement, on donne des moyens particuliers (car on n'a pas encore découvert de methode generale) pour feparer les changeantes dans les differentielles qui en ont plufieurs multipliées les unes par les autres, afin de les rapporter aux methodes des differentielles qui n'ont qu'une feule changeante.

Enfin on étend, à la fin de la premiere Section, aux fecondes differences, aux troifiémes, &c. les methodes qu'on a données pour trouver les integrales des premieres differen

ces.

Il y a un grand nombre de differentielles dont on ne peut pas trouver les integrales exactes par les methodes de la premiere Section. On peut bien trouver des fuites infinies

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