PREMIERE PARTIE. OU DEMANDE. PREMIERE SECTION. les proprietés, & refoudre les Problèmes. & les propriecés des figures de la Geometrie, il faut mar- Quand il y a dans les figures des lignes égales, on les la moitié, le tiers, &c. par ja, ja, &c. qui expriment les lignes des figures, marquent que ces lignes KB. Il en est de même de l'addition. ligne BH(6), ce qu'il faut remarquer dans l'expression de tous les autres rapports des lignes. a par la grandeur b, que l'on marque par ces let- R9q üj dont le premier terme est l'unité, le second & le troisiéme sont les grandeurs a & b à multiplier l'une par l'autre , & le quatrième terme est le produit ab de ces grandeurs; ainsi chaque produit dans les operations de l'Analyse exprime une ligne qui est le quatrième terme d'une proportion, dont les trois premiers termes qui font connus, sont l'unité & les deux grandeurs multipliées l'une par l'autre. Par exemple dans la premiere figure, supposé que A K soit l'unité ; ainsi AK = 1; que AB=a, AM=e; l'on a, en supposano KM & BH paralleles, cette proportion AK (1). AB (a):: AM(e). AH=9, ou simplement ae = AH; parcequ'on peut toujours sous-entendre l'unité sous un produit, ou sous une grandeur fans la marquer. L'on voit donc que le produit de deux lignes AB(a) & AM (e) est une autre ligne AH=ae, qui est la quatrieme proportionelle à l'unité AK & à ces deux lignes AB (a) & AM(e). En supposant que les triangles AKM, ABH sont semblables, que AK=1, AB=a, KM=k, BH=h; BH est aussi le produit de KM (k) par AB(a); puisqu'on a cette proportion. A K(1). KM (k):: A B (a). BH (h. = ak). D'où l'on voit que quand on a deux lignes données KM(k) & AB (a); pour trouver la ligne BH(b=ak), qui est leur produit, il n'y a qu'à faire les deux triangles semblables AKM, ABH, où AK soit =1, KM=k, AB=a,& l'on trouvera. BH = ak. 271. : Le produit de trois lignes aef , marque deux proportions; par la premiere , l'unité est à la ligne a, comme la ligne e est à la ligne ae, qui est la quatrieme proportionelle, à l'unité & aux lignes a & e; par la seconde proportion l'unité est à la ligne ae, comme la ligne f est au produit des trois aef, qui est une ligne quatrième proportionelle à l'unité & aux lignes ae & f. D'où l'on voit que le produit de quatre lignes aefg, marque_trois proportions ; le produit de cinq lignes aefgh, marque quatre proportions, &c. & que dans ces proportions le produit total n'est qu'une ligne qui resulte de toutes ces proportions. 27 2. Quand les produits sont composés de lettres égales, comme i, a a, aa, a', af, a', &c. il est évident que les pro portions des lignes qui donnent ces produits sont continues, produits, ou de toutes ces puissances. 273. La division d'une grandeur AH(ae) par une autre AM(e), Fig. 1. que l'on marque ainsi =í, ou simplement a, est une proportion inverse de la multiplication, dont le premier terme est AH (ae) ou la grandeur à diviser; le second terme est le diviseur AM(e); le troisiéme terme est le quotient AB(=a); le quatrieme terme est l'unité AK(1); ou bien, en faisant en sorte que les trois premiers termes de la proportion soient les trois termes donnés, la division est une proportion dont le premier terme est le diviseur AM(e), le second terme est la grandeur à diviser AH(ae); le troifiéme terme est l'unité AK (1); le quatriéme est le quotient AB=a) D'où l'on voit que le quotient d'une division n'exprime qu'une ligne qui est le quatrieme terme d'une proportion dont le diviseur est le premier terme, la grandeur à diviser le second, & l'unité le troisiéme. De même en supposant les triangles AKM, ABH semblables, & que AB=a; BH=h= =a; BH=h= ak; KM=k, & AK=1; la ligne KM(k) sera le quotient de BH(ak) divisée par AB(A); puisque AB(a). BH(ak):: AK (1). KM!k). D'où il est évident que quand on a deux lignes données BH(ak ou h), & AB(a); pour trouver la ligne KM(k), qui est le quotient de BH(ak) divisée par AB(a), il n'y a qu'à faire les deux triangles semblables ABH, AKM, où BH = ak ou h, AB = a, Ak=1, & la ligne KM (k) fera le quotient. L'on voit aussi que si la ligne à diviser étoit representée par le produit de plusieurs lettres aefg, qui marque que cette ligne est le dernier terme d'une proportion précedée de plusieurs autres, l'on pourroit par la division en repassant par toutes ces proportions, revenir à la premiere , dont le dernier terme ne seroit exprimé que par deux lettres comme ae. 274. Quand l'expression de la grandeur ou de la ligne à divi ser AH , n'a aucune lettre commune avec l'expression du AB(a). AH(c):: AK (1). AM=H. port de AH à AB, est la même chose que ); les R E MARQUE. l'unité est ordinairement arbitraire ; c'est à dire, qu'on peut toute la question que l'on veut resoudre , prendre d'autre FIG. 1. ligne pour l'unité; ainsi supposant dans les deux triangles semblables AMK, AHB, que AK =a, AB = b, AH Quand on a ainsi déterminé une des lignes d'une question dans une équation rendre tous les termes d'un même nombre de dimensions, en multipliant chaque terme par l'unité repetée autant de fois qu'il lui manque de dimenfions pour égaler les dimensions des autres termes, ce qui les rendra homogenes. Ainsi on rendra tous les termes de xi + px bcd =o, homogenes, en écrivant x' + apx — bed =0; ou bien en divisant les termes qui ont le plus de dimensions par l'unité repetée autant de fois qu'il manque de bc 1 bbcx - add aa, de dimensions aux autres pour les égaler. Par exemple, on - bbcxccdd Les extractions des racines dans les calculs de l'Analyse, que l'on marque par les signes radicaux V, , , &c. comme Vab, jabc, &c. & par les grandeurs mêmes qui sont les racines, quand cela fe peut, comme a est la racine quarrée de 6 la racine cubique de b}, &c. sont les expressions des Problêmes ou des figures que l'on fait dans la Geometrie, pour trouver les lignes qui sont moyennes proportionelles entre d'autres lignes, ou entre l'unité & d'autres lignes. Par mple Vab marque la ligne qui eft moyenne proportionelle entre la ligne a & la ligne bi Vabc exprime la premiere des deux lignes moyennes proportionelles entre la ligne qui est prise pour l'unité , & la ligne qui est exprimée par le produit abc des trois lignes a, b, c ; & ainsi des autres, COROLL AIRE I. tous les calculs de l'Analyse peuvent être representés par le moyen des que tous les rapports de ces lignes qui forment les figures de la Geometrie, peuvent être marqués par les expreslions & les. calculs de l'Analyse. COROLLAIRE II. commodité du calcul , des expressions composées en d'au. Par exemple, en nommant a la ligne prise pour l'unité, Rrr |