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II.

Quand db, c'eft à dire quand la force du jet HA(d} eft égale à la moitié de l'étendue AK (b), les valeurs de BA(x) font la feule grandeurd, c'est à dire 1⁄2 HA, ce qui convient à l'inclinaifon de 45 degrés.

2

III.

Il eft évident que le Problême eft poffible dans tous les cas où eft moindre qued, ou eft égale à d; ou, ce qui eft la même chofe, quand b eft moindre que d ou égale à di & qu'il eft impoffible dans tous les cas où 1h furpaffe d, c'est à dire, quand le point K eft hors de la plus grande portée 327. ou de la plus grande étendue du jet qui est égale à 2d.* SECOND CAS DU CINQUIEME PROBLEME.

Quand l'endroit fur lequel on veut jetter la bombe eft plus élevé ou plus bas que l'horizontale qui paffe par le mortier, comme quand on veut la jetter fur le flanc d'un bastion, fur une tour, fur quelqu'endroit d'un fort qui eft fur une montagne ; ou quand le mortier eft lui-même fur une montagne.

FIG. IX. LA question se réduit, comme au premier cas, à trouver le côté vertical AB du triangle rectangle ABC, qui fera connoître la direction de la corde AC qu'il faut donner au mortier pour faire tomber la bombe, avec la force de poudre HA qu'on fuppofe connue, fur l'endroit 2, qu'on fuppofe élevé fur l'horizontale ARK qui paffe par le mortier A, ou fur l'endroit q plus bas que le mortier.

=

9,

Pour trouver BA, il faut mefurer l'angle 2AR ou qAR, & trouver par la Geometrie pratique l'oblique AQ, la verticale R ou qR, & l'horizontale AR; & fuppofant HA=d, AQ ou Aq=a, AR=r, QR ou qR 288. & l'inconnue AB qu'on cherchex; l'on aura BC: Vdx -xx; l'étendue du jet AK ou Ak, qui eft quadruple *325. *de BC=4Vdx-xx la verticale KS ou ks 4BA=4xi & à caufe des triangles femblables KAS, PAR, on aura AK (4√dx-xx). KS (4x) :: AR(r). PR= Vdx

d'où l'on déduira PQ — PR— QR =

rxqVdxxx
rx + qVdx

Pq=

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rxqVdx
Vax

-

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&

On fe contentera de donner la refo

lution

lution du Problême par raport à PQ; le Lecteur pouvant facilement l'appliquer à Pq.

Refolution. La bombe qu'on fuppofe jettée fuivant la direction ACPS, rencontre la hauteur Q dans le temps que par le mouvement horizontal uniforme, elle auroit parcouruAR; & s'il n'y avoit pas eu de hauteur Q, elle feroit tombée au point K fur l'horizontale AK, dans le temps que par le mouvement uniforme, elle auroit parcouru l'horizontale AK; ainfi la vitesse étant uniforme, c'est à dire la même par l'horizontale ARK, les temps par AR & par AK*, peuvent *303 s'exprimer par ces longueurs. Mais dans le temps du mouvement uniforme par AR, la viteffe verticale que la pefanteur a fait perdre à la bombe, l'a empêchée de parcourirP & dans le temps du mouvement uniforme pár AK, la vitesse verticale que la pesanteur lui auroit fait perdre, l'auroit empêchée de parcourir SK; par confequent* AR (rr). *309%.

AK2 ( 16 × dx — xx) :: PQ (

TX- -qVdx· -XX

Vax -xx

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). KS(4x); ce qui

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Vax - XX

+dq

rr+qq

Cette équation a deux racines positives *, ainsi il

2

O.

y a deux * 29. valeurs de BA ( x ) qui donnent deux angles d'inclinaifon Cor, 8. pour le mortier, par chacune defquelles on lui fera jetter

la bombe fur l'endroit

drr + 2dqq + 1⁄2 rrq

2 × rr + q

; ces deux valeurs font AB ( x)

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2 x rr+qq

2

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rr+qq

Mais à cause du triangle rectangle AQR, AQ2 (aa)=AR2 (rr)

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QR2 (qq); ainfi mettant aux dénominateurs aa à la place de 77+qq, & aux numerateurs aa 99 qq à la place de rr, les

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deux valeurs de AB feront AB (x) = 1 d + 1 g + d — 1 q x

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Par exemple, fuppofé que la force de la poudre HA(d), foit de 300 toifes; l'éloignement AQ (a) de 320 toises; la hauteur QR(q) de 83 toises; en fubftituant ces valeurs de d

273

,9, à leur place dans les valeurs de AB(x), on trouvera que la plus petite eft de 85 toifes, & la plus grande de toifes. Ainfi partageant le diametre HA du demi cercle en 300 parties égales, prenant, 1°, AB de 85 parties, & tirant la perpendiculaire BC, la corde AC fera la premiere direc tion qu'il faut donner au mortier pour faire tomber la bombe en Q 20. Prenant AF de 273 parties, & tirant la perpendiculaire FG, la corde AG fera la feconde direction qu'il faut donner au mortier pour le même effet.

REMARQUES,

I.

LE Problême est toujours poffible quand la quantité négative qui eft dans les deux valeurs de x fous le figne V, eft moindre que la pofitive qui eft fous le même figne ✔, ou 78. quand elle lui est égale, & il eft impoffible * quand elle est plus grande,

II.

Si l'angle d'inclinaison du mortier CAK étoit donnée, & qu'on voulût trouver la charge de poudre, c'eft à dire, la force du jet propre à faire tomber la bombe à l'endroit Q3 FIG, IX, dans cette fuppofition l'angle PAR est connu, & l'on trouvera par la Geometrie pratique les lignes AQ(a), AR (r), QR(q), PR, qu'on nommera p; nommant auffi l'étendue inconnue du jet AK(z), on trouvera par le fecond cas du quatriéme Problême l'étendue AK (z), BC ( 4 AK = ÷ 2); enfuite on trouvera la force du jet HA (d) que l'on cherchoit, comme dans le quatriéme Problême.

fage de l'Analyse pour trouver le centre de pesanteur des corps pefants.

Principes que

l'on fuppofe pris des traités de Méchanique. PREMIERE

DEFINIT ΙΟ Ν.

331. UN levier eft une ligne droite comme AB, qu'on fuppofe FIG.IV. inflexible,& que l'on confidere, pour l'exactitude des démonstrations, comme n'ayant aucune pefanteur. On y diftingue trois choses, 1o, un de ses points, foit à l'une ou l'autre de fes extremités A ou B; ou entre les extremités comme C,

1

fur lequel il eft appuyé, ou par lequel il eft fufpendu; & on
appelle ce point l'appui ; 2°. un poids attaché à un point de
ce levier comme en A ou B, ou C, &c. ou quelqu'autre
force qui tire ce levier par ce point; 3°. une autre force à
un autre point du même levier, qui tire auffi le levier
point.

PREMIERE SUPPOSITION.

par ce

332. LE levier AB étant fuppofé horizontal, appuyé ou suspen- FIG. IV. du au point C, & deux poids A & B aux extremités, fi le poids A eft au poids B, reciproquement comme la distance BC où eft B de l'appui C, à la distance AC où est A du même appui C, ces deux poids A & B feront en équilibre: Et reciproquement fi A & B font en équilibre, l'on aura A

. B:: BC. AC.

Ainfi fuppofant le plus petit pòids =p, le plus grand
B=np, le raport C
Suppofant la distance BC

=

BC

AC

L
np

=

d, & par confequent la distance ACnd; l'on aura Ax AC (ndp) = Bx BC (ndp).

COROLLAIRE I

333. Si au lieu des poids A & B attachés aux extremités du levier, l'on conçoit deux corps A & B qui choquent ou qui tirent les extremités du levier, fçavoir A avec la viteffe v, & B avec la viteffe u 5 A× v fera la force avec laquelle A agit au point A, & B x u fera la force avec laquelle B agit au point B par consequent fi A × v . B × u :: BC. AC, il y aura équilibre entre ces deux forces; & s'il y a équilibre, Ax v. Bx u : BC. AC; d'où l'on déduit A xv x AC =Bxu x BC.

334.

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LE
E point C d'un levier, dont les distances CA, CB des
poids A & B qui font aux points A & B du levier, font.
entr'elles reciproquement comme ces poids, s'appelle le
centre de pefanteur de ces poids; la ligne tirée de ce centre C
perpendiculairement à l'horifon, s'appelle la ligne de direc-
tion de ce centre, ou fimplement la ligne de direction. La
pefanteur de chacun des poids confiderés feparés du levier,
s'appelle leur pefanteur ou leur force abfolue; comme auffi

le produit A× v ou B × u de la maffe de chacun des deux corps A & B en mouvement (qui choqueroient ou tireroient le levier aux points A & B) par leur viteffe v ou u, en les confiderant fans raport au levier, s'appelle auffi la force abfolue de chacun de ces corps. Mais le produit de la pefanteur abfolue de chacun des poids A & B, ou de leur force absolue, par la distance où eft ce poids ou ce corps du centre de pefanteur ou de l'appui C, s'appelle l'effort de ce poids ou de cette force fur le levier; on le nomme en latin momentum. Ainfi A× AC, B × BC, A × v × AC, B × v × BC, font les efforts des poids A & B, & des forces Ax v&B × », agiffant l'une fur l'autre par le moyen du levier.

SECONDE SUPPOSITION.

335. Si le levier eft appuyé ou foutenu à ses deux extremités A FIG. IV. & B, & qu'il y ait un poids C à un point quelconque Centre

les points A & B, les appuis en A & en B foutiennent chacun une partie du poids C, & la partie que le poids C communique à l'appui A, eft à la partie qu'il communique à l'appui B, reciproquement comme la distance BC eft à la distance AC.

Ainfi nommant a la partie de fa pefanteur que le poids C communique à l'appui A, & 6 celle qu'il communique à l'appui B; l'on aura a. b:: BC. AC; d'où il fuit que a + b ou le poids entier C. b:: AB. AC; & l'on aura auffi a + b . a :: AB. BC ; c'est à dire, le poids entier C eft à la partie de fa pefanteur qu'il communique, par exemple, à l'appui B, comme la distance AB entre les deux appuis, eft à la diftance CA du poids C de l'autre appui A.

S'il n'y avoit qu'un appui en A,& qu'en B ce fût feulement quelque force qui refiftât à l'effort que le poids C communique au point B, il eft clair que ce feroit la même chose que s'il y avoit un appui au point B, & que le poids C communiqueroit au point B la même partie de fa pefanteur.

Si au lieu du poids C, c'étoit un corps en mouvement qui poufsât ou tirât le point C, & que la viteffe de ce corps fût v, il est évident qu'il faudroit prendre la force Cxv pour le poids C, & que cette force ou quantité de mouvement fe diftribueroit aux points A & B ́en raison reciproque des distances AC, BC.

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