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infiniment obtus de l'autre ; il fuit que puifqu'elles fe difpofent parallelement (Corol. 2.) ou le confondent en une (Corol. 3.) du côté de l'angle infiniment aigu, elles doivent fe difpofer en fens directement contraires parallelement, ou en ligne droite bout à bout du côté de l'angle infiniment obtus.

LEMME VIL

De quelque maniere que la ligne droite AD divife l'angle F10, 15: rectiligne BAC, le finus de cet angle total BAC fe trouvera égal à la fomme des finus des angles partiaux BAD, BAC, Lorfque te même angle total fera infiniment aigu.

DEMONSTRATION.

Du centre A, & d'un rayon quelconque AE, foit l'arc de cercle EFO, qui rencontre AD, AC, en F, O; des points E, F, foient EH, FK, perpendiculaires en H, K, fur AC, la premiere EH rencontrant AD en L, & du point E la droite EG perpendiculaire auffi en G fur AD. Cela fait, fi l'on prend AE, ou fon égale AF pour finus total, l'on aura (Def. 9. Corol. 1.) EH, FK, EG, pour les finus des angles BAC, DAC, BAD.

Je dis donc que lorfque l'angle total BAC fera devenu infiniment petit, fon finus EH se trouvera égal à la fomme des finus EG, FK, des angles partiaux BAD, DAC; c'est-à-dire, qu'alors on aura EH-EG-FK.

Pour le voir, il n'y a qu'à confiderer que lorfque l'angle total BAC fera infiniment aigu, les deux partiaux BAD, DAC, le feront auffi; & confequemment (Corol. 1.du Lem. 6.) que les trois droites BA,DA, CA, feront alors paralleles entr'elles de l'une ou de l'autre des deux manieres marquées dans les Corol. 2. 3. du Lem. 6. Donc des angles (Hyp.) droits en H, K, G, rendront alors EH, FK, EG, perpendiculaires à chacune de ces trois paralledes; ce qui confondant EL avec EG, & LH avec FK, donne alors EG+FK-EL+LH-EH. Donc le finus EH de l'angle total BAC fetrouve alors égal à la fomme

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des finus EG, FK, des angles partiaux BAD, DAC. de qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I

Donc auffi pour lors le finus de celui qu'on voudra de ces deux angles partiaux BAD,DAC, fera égal à la difference dont le finus de l'autre fera furpaffé par le finus EH de l'angle total BAC; c'est-à-dire, qu'alors EG-EH-FK, & FK-EH-EG.

COROLL AIRE II..

Or en prolongeant DA, CA, vers M, N, l'on aura auffi (Déf. 9. Corol. 2.) EG, EM, FN, pour les finus des angles BAM, BAN, MAN; & lorfque l'angle BAC fera infiniment aigu, fon complement (à deux droits ) BAM fera infiniment obtus, & MAN infiniment aigu. Donc lorfqu'un angle BAM infiniment obtus fera divifé en deux, dont un MAN foit infiniment aigu, le finus de l'angle total BAM fera toûjours égal à la difference dont le finus du plus grand BAN des partiaux furpaffera le finus du plus petit MAN; puifqu'alors ( Corol. 1.) l'on aura toûjours EG-EH-FK.

Quoique dans le Corol. 2. les angles BAM, BAN, infiniment obtus, foient infiniment grands par rapport à l'infiniment aigu MAN, l'étant auffi par rapport à leurs complemens infiniment aigus BAD, BAC, qui ont ( Déf. 9. Curol. 2.) les mêmes finus qu'eux leurs finus EG, EH, feront infiniment petits, & de même genre que celui EK de l'angle MAN & confequemment EG-EH-FK fera ici d'une valeur réelle, quoiqu'infiniment petite.. C'est pour rendre de la plus grande univerfalité poffible les propofitions & les Corollaires des fections fuivantes, que nous en venons ici jufqu'aux infiniment petits, dont l'idée feule fuffira fans en fçavoir le calcul: idée à la portée de tout le monde, avec un peu d'attention. Par infiniment petit, on n'entend qu'une grandeur moindre que quelque affignable que ce foit, laquelle, au langage des Anciens, s'appelleroit quantitas minor quavis data

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SCHOLIE.

Les angles en H, K, G, étant (Hyp.) droits, & le Gorol. 1. du Lem. 6. faifant voir que lorfque l'angle BAC est infiniment aigu, & confequemment auffi les angles BAD, DAC ; les trois lignes BA, DA, CA, font paralleles entr'elles de quelqu'une des deux manieres marquées dans les Corol. 2. 3. de ce Lem. 6. On vient de conclure, fuivant la doctrine d'Euclide, que chacune des lignes EH, FK, EG, eft perpendiculaire à chacune de ces trois paralleles ; & confequemment qu'alors LH est égale à FK, auffi-bien que EG à EL, qui pour lors fe confond avec elle comme LH avec FK. Pour voir tout cela, il faut confiderer que lorfque les droites BA, CA, deviennent paralleles entr'elles, tout ce qu'on en peut imaginer d'autres par A dans l'angle BAC, le deviennent auffi entr'elles ( Lem. 6. Corol. I.) & à ces deux-là; & confequemment que l'arc EFO perpendiculaire à toutes, dégenere pour lors en une ligne droite, qui leur est auffi perpendiculaire, & qui paffant par E, F, de même que EH, EG, FK, perpendiculaire auffi pour lors à ces paralleles AC, AD, AB, doit fe confondre avec celleslà, defquelles EG fe trouve pour lors au bout de FK en ligne droite, avec laquelle EH fe confond alors fur cet arc EFO redreffé en une ligne EH-EG➜FK, conformément au present Lem. 7..

LEMME. VIH

De quelque point E de la diagonale AD d'un parallelo- F 16. r gramme quelconque ABDC, qu'on mene deux perpendicu- 17. laires EF, EG, fur fes côtez AB, AC, prolongez avec cette diagonale où befoin fera ; ces perpendiculaires feront toujours entr'elles en raifon reciproque de ces côtez, c'est-à-dire, ›

EF EG:: AC. AB.

DEMONSTRATION.

Du point D foient DH, DK, perpendiculaires auffi fur les côtez AB, AC, du même parallelogramme ABDC. Le parallelifine de fes deux autres côtez DC, DB, avec ces deux-là, rendra les angles HBD HAK KCD, outre les angles EAF DAH, & EAG DAK. Donc les angles en H,K, F, G, étant (Hyp.) droits, les triangles DыH, DCK, feront femblables entr'eux, de même que les triangles EFA, DHA, & que les triangles EGA, DKA. Par consequent DH. DK :: DB. DC:: AC. AB. Et EF. DH::EA.DA:: EG. DK. Ou (en permutant) EF.EG:: DH. DK. Donc auffi EF. EG:: ÁC. AB. ce qu'il falloit démontrer.

COROLLAIRE I.

Mais fi l'on prend AE pour le finus total, l'on aura Déf. 9. Corol. 1.) EF, EG, pour les finus des angles EAF, EAG, ou de leurs égaux ou complemens DAB, DAC. Donc les côtez AC, AB, du parallelogramme ABDC font entr'eux comme les finus des angles DAB, DAC, c'est-à-dire, en raifon reciproque des finus des angles que ces deux côtez font avec la diagonale AD: de forte que les angles DAB, ADC, étant égaux entr'eux, de même que les côtez AB, DC, les côtez AC, DC, du triangle ACD, feront toûjours entr'eux comme les finus des angles ADC, DAC, qui leur font opposez dans ce triangle.

COROLLAIRE IL

Par la même raison, fi l'on acheve le parallelogramme ADCM, dont AC foit la diagonale, l'on aura AM à AD comme le finus de l'angle CAD au finus de l'angle CAM, c'est-à-dire ( à caufe de AM-DC, & l'angle CAM= ACD) les côtez DC, AD, du triangle ACD, entr'eux comme les finus des angles CAD, ACD, qui leur font oppofez dans ce triangle. Donc ayant déja (Corol. 1.)

les côtez AC, AD, de ce même triangle ACD entr'euxcomme les finus des angles ADC, DĂC; l'on aura les trois côtez AC, DC, AD, de ce triangle quelconque ACD entr'eux comme les finus des angles ADC, DAC, DCA, qui leur font oppofez ; & ainfi de tous les autres triangles rectilignes à l'infini, celui-ci ACD moitié d'un parallelogramme (Hyp.) quelconque ABDC, étant auffi quelconque.

COROLLAIRE III.

Mais le parallelogramme ABDC donne DC AB, Fangle ADC DAB, & le finus de l'angle DCA, égal (Def. 9. Corol. 2.) à celui de fon complement BAC à deux-' droits. Donc (Corol. 2.) AC, AB, AD, font entr'eux com:( me les finus des angles, DAB, DAC, BAC.

COROLLAIRE IV..

Or le parallelogramme ABDC rend auffi les anglesDAB ADC, DAC ADB, BAC BDC, & leurs côtez ACBD, ABCD. Done ( Corol. 3.) l'on aura de même toûjours BD, CD, AD, entr'eux comme le finus des angles ADC,ADB, BDC.

COROLLARE V..

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Donc les finus des angles ADC, ADB, étant ( Déf. 9. Corol. 2.) les mêmes que ceux de leurs complemens CDO, BDO, l'on aura auffi toûjours ( Corol. 4.) BD, CD, AD, en raifon des finus des angles CDO, BDO, BDC, au travers defquels ces lignes prolongées pafferoient.

COROLLA IRE VI.

H fuit encore du Corol. 4. qu'un angle rectiligne quelconque BDC étant divifé à volonté par une droite DA, plus cet angle total BDC fera petit, plus fera grande la raifon de fon finus à chaque finus des angles partiaux ADB, ADC, & plus au contraire ce même angle total BDC fera grand, plus cette raifon fera petite: car fi fur

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