l'égalité des deux Triangles ABC, BCD (par la 8.) D'où l'on tire l'origine & la démonftration de cette régle double, que l'on appelle regle parallele. On peut ici démontrer facilement l'onziéme Maxime d'Euclide, qui porte que fi Pl. 4. une ligne droite, comme EF coupe les deux Fig 70. AB, CD, en forte que les deux angles interieurs BEF: DFE, qui font d'un même côté foient ensemble moindres que deux droits, les deux lignes AB, CD, étant prolongées concourront de ce même côté. Pour démontrer cette verité, il suffira d'avoir démontré que fi du même côté des angles interieurs BEF, DFE, on tire la droite GH terminée par les deux lignes AB, CD, & parallele à la ligne EF, cette ligne GH fera moindre que la ligne EF. Pour cette fin tirez par le point Hla droite HI parallele à la ligne AB. Il est évident que cette ligne HI rencontre la ligne EF an point I entre les points E, F, parce que fi elle la rencontroit au delà du point F, comme en L, il s'enfuivroit que les deux angles BEF, HLF, feroient égaux à deux droits, & par confequent plus grands que les deux BEF, DFE, qui font fuppofez moindres que deux droits, & qu'ainfi en ôtant l'angle commun BEF, il resteroit l'angle HLE plus grand que l'angle DFE, ce qui eft impoffible, parce que l'angle HFE étant exterieur eft plus grand que l'interieur HLE. (par la 16.) Donc puifque le point I, tombe entre les deux E&F, & que la figure GHIE,eft un parallelograme, dont les côtez oppofez GE, HI font égaux, comme il a été démontré il s'enfuit que la ligne GH eft plus petite que la ligne EF. Ce qu'il faloit démontrer. PROPOSITION XXXV. THEOREM E. Les Parallelogrames font égaux, quand ayant la même bafe, ils font entre les mêmes paralleles. QBDF, ayent Fig. 71. UE les parallelogrames ABEC, A Pl. 4. BDF, ayent la même base A B, & qu'ils foient entre les mêmes paralleles ÁB, CD: Je dis qu'ils font égaux. Démonftration. Les côtez AB, CE, font égaux (par la 34.) comme auffi AB, FD: donc CE, FD font égales ; & y ajoûtant EF; les lignes CF, ED feront égales. Les Triangles CFA, EDB, ont les côtez CA,EB, CF, ED égaux & les angles DEB, FCA Pl. 4. Fig. 72. l'un étant exterieur, & l'autre interieur du même côté, donc ( par la 4.) les Triangles ACF, BED font égaux : & leur ôtant à tous deux, ce qu'ils ont de commun, c'est-à-dire, le petit Triangle EFG, le trapeze FGBD, fera égal au trapeze CAGE: & ajoûtant à tous deux le petit Triangle AGB, les parallelogrames ABEC, ABDF feront égaux. PROPOSITION XXXVI. THEOREM E. Les Parallelogrames font égaux, qui étans entre les mêmes paralleles, ont des bafes égales. UÈ les bases CB, OD, des paral égales ; & que l'un & l'autre foit entre les paralleles AE, CD. Je dis que les parallelogrames font égaux. Tirez les lignes CG, BE. Démonftration. Les bafes CB, OD, font égales: OD, GE font auffi égales: donc CB, GE, font égales & paralleles ; & par confequent (fuivant la 33.) CG, BE feront égales & paralleles ; & CBEG fera un parallelograme égal à CBFA (par la 35.) puifqu'ils ont la même base. Pareillement prenant GE pour bafe; les parallelogrames GODE, CBEG font égaux ( par la même.) Ainfi les parallelogrames ACBF, ODEG font égaux. USAGE. Nous réduifons les parallelogrames qui ont les angles obliques, comme CBEG on ODEG, à des rectangles, comme CBFA, de forte que mefurant ce dernier, ce qui eft facile; c'est-à-dire, multipliant AC par CB, le produit fera égal au parallelograme ACBF, & par confequent an parallelograme CBEG, on ODEG. PROPOSITION XXXVII. THEOREM E. Les Triangles font égaux, qui ayant la même base, font entre les mêmes paralleles. Pl. 4 Es Triangles ACD, CDE feront Fig. 73. égaux, s'ils ont la même base CD, & s'ils font renfermez entre les paralleles AF, CH. Tirez les lignes DB, DF, pa Pl. 4. Fig. 73. ralleles aux lignes AC, CE, & vous aurez formé deux parallelogrames. Démonftration. Les parallelogrames CABD, CEFD, font égaux (par la 35. ) les Triangles AC D, CDE font leurs moitiez (par la 34.) Donc les Triangles ACD, CDE font égaux. PROPOSITION XXXVIII. THEOREM E. ཝཱ Les Triangles font égaux, qui ayant des bafes égales font renfermez entre les mêmes paralleles. Es Triangles ACD, GEH, font , égales, & s'ils font renfermez entre les paralleles AF, CH. Tirez les lignes B D, HF, paralleles aux côtez AC, EG: & vous aurez formé deux parallelogra mes. Demonftration. Les parallelogrames, ACDB, EGHF font égaux, (par la 36.) les Triangles A CD, EGH, font leurs moitiez (par la 34.) Ils font donc auffi égaux. |