-2ry =pf, d'où l'on tire s=. ; fractions, & ce qu'il y a à ôter, V. t= 2y met prefentement dans les deux équations C, & D, en la place de /, & de leurs valeurs prifes dans les deux équations T, & V, l'on aura les deux fuivantes. ༢༢. — .༡༢.+ o, & y2+py + q ༢༨. + .ý༢. + 2y X. zz— yz + 1⁄2 vy + 1⁄2 p + 2 = 0, & & y Y. Zz+yz+{yyp Mais l'équation R, donne yy = aa + bb, de yy? Vaa+bb. ; l'on a auffi paa—bb, & 9 = a3 + abb; fubftituant donc dans les deux équations X, & y en la place de de p, & de q; leurs valeurs; l'on aura après les réductions ordinaires, ༢༢. z√aa + bb + 3 aa + 1⁄2 a Vaa +66 22 + z Vaa + bb + 1⁄2 aa — 1⁄2 a Vaa + bb 22 = 2 √aa + bb ༢༢ دلو o, ou 2 aa — 21 a √aa+bb, & 4 = 0, & o, ou 23 —— 2 √aa + bb — 2 aa + — a Vaa + bb, dont les racines font, ༢༢ z = 1⁄2 Vaa + bb + √ — ¦ aa + 1 bb — — a` √aa + bb, & z=— 1⁄2 √aa+bb + √ — — aa + 1 bb + a √aa+bb. Mais pour ôter le fecond terme de l'équation A, l'on a fait z = x — — a ; c'est pourquoi en mettant dans les deux dernieres équations, en la place de z, fa valeur x—ļa; l'on aura les deux qui fuivent. 2 x = a + √ 1 aa + 1 bb + √ — — aa + 1 bb — — a √aa+bb. FIG. 34. x = 11⁄2 a — √ — aa+1 bb +√ — — aa+1 bb + 1⁄2 a√aa+bb, dont la conftruction réfout le Problême. Il faut demeurer d'accord que cette méthode de Mr Descartes, de reconnoître la nature d'un Problême dont l'équation eft du quatriême degré, & de tirer de cette équation du quatrième degré, deux équations du fecond, quand le Problême eft Plan, eft parfaitement belle, & digne de fon genie; c'eft pourquoi j'ai jugé à propos de la mettre ici tout au long; parceque je ne l'ai vûe nulle part entierement expliquée. Il est neanmoins à propos, comme on a déja remarqué, après avoir reconnu qu'un Problême dont l'équation eft du quatriême degré eft Plan, de chercher par d'autres voyes une équation du fecond degré; parceque la conftruction du Problême en devient plus fimple, comme on va voir par cet exemple. 15. Les mêmes chofes que dans l'énoncé du Problême, étant fuppofées, on prolongerȧ BC vers G, l'on menera EG perpendiculaire à FE, qui rencontrera CG en G, & l'on abaiffera du point E fur CG la perpendiculaire EH: ce qui formera les triangles femblables CBF, CEG, CHE, & EHG: & outre cela les triangles CBF, EHG égaux, puifque BC= EH, c'est pourquoi ayant nommé les données AB ou AD, a; KL ou FE, b; & les inconnues CG, x; CE, y; BG fera, a + x; & FC ou EG, b—y ; les triangles femblables CBF, CEG, donneront a (CB). b —y (CF) :: y (CE). x(CG); donc ax= — by — yy ; & le triangle rectangle CEG donnera CG' = xx bb +2yy—CE' +EG', ou bbxx — by —yy—ax, ou bb zax, d'où l'on tire x— ·a±vaa+bb, qui donne 2by xx 2 cette conftruction. Soit prolongée CD en I, en forte que CI=KL; décrit du centre B par I, le cercle IG, qui coupera BC prolongée en G, & fur le diametre CG, le demi cercle CEG, CEG, qui coupera AD prolongée E & e, ou la touchera DEMONSTRATIO N. A Caufe des triangles femblables CBF, CEG. CB. ; = CF:: CE. CG; donc CB CG CF x CE. Et à cause CF CE. 1o. en la -2 --2 = -2 tant CG on aura 2 BC x CG + CG2CF x CE+CG. -2 12 12 Mais CG <=CE EG. —2 2 + =2CF × CE+CE + EG, ou CF — FÈ 2CF × CE 2 x -2 2 2 12 +CE + CFFE. Car CF CEFE; donc CF+CE × CF +CE➡ FE, ou ce qui eft la même chose -2 -2 CF2CF × CE+CE = FE; donc CI= F E2; donc = On démontrera de même que ef=KL. A -2 = -2 PROBLEME PLAN. 16. LA fomme AB des deux côtez AE, EI d'un triangle F16. 35. AEI, l'angle AEI que doivent former les deux côtez AE, EI &la perpendiculaire EG menée de cet angle fur la bafe AI, étant donnez, décrire le triangle AEI. ; = Ayant fuppofé le Problême réfolu, foit prolongée AE en B, en forte que EB EI, & menée par A la ligne AD parallele à EI, & égale à AB; la ligne menée par les points B & I, rencontrera AD en D: car BE — ÈI, & BA=AD. Soit faite AK perpendiculaire à BD, qui fera divifée par le milieu en K, puifque le triangle BAD H eft ifofcele. Ayant enfin mené BH perpendiculaire à AI prolongée, & nommé les données KB, ou KD,c; la perpendiculaire EG, b; AK, d; & les inconnues AI, z; KI, x; BH, u; BI fera c— x, & ID, c + x. . cd 3 Les triangles femblables IA K, IBH donneront z (IA). d (AK) :: c — x (IB). u (BH); donc u = ed-dx. Et les triangles femblables HBA, GEA, & BEI, BAD donnent, u (HB). b (GE) :: BA. EA :: 2c (BD). c + x (ID). d'où l'on tire u = 26c 2h, donc 26 2bc ou 2bcz = ccd-dxx: mais le triangle rectangle AKI, donne xx=22 dd; c'eft pourquoi en mettant cette. valeur de xx, dans l'équation précedente, l'on en tire ༢༢. 2c+cc+dd: Mais en nommant AB, a; l'on a, cd - dx ༣ c4x c+x à cause du triangle rectangle AKB, aa=cc+dd; mettant donc dans l'équation en la place de cc+dd fa valeur aa, l'on a l'on a celle-ci bc + √ bbcc ༢༢.= 26 + aa, d'où l'on tire z d = bbccaa, qui fournit cette construction. Soit prife AFGE, & menée F L parallele à KB; foit prolongée KA en C, en forte que AC FL; & ayant mené AM parallele à KB, & égale à AB, l'on décrira du centre Ĉ par M, le cercle MN, qui coupera AK prolongée en Ñ; & du centre A par Ñ, l'on décrira le cercle N10 qui coupera K B, en I; & ayant joint AI, l'on menera IE parallele à DA, qui formera le triangle AIE, qu'il faloit décrire. = = DE'MONSTRATION. IL eft clair que AE÷EI— AB, que l'angle A EI, eft tel qu'on le fouhaite, & que AN = AI. A cause de FL(conft.) parallele à KB, l'on a AK (d). KB (c) :: AF, ou GE (b). FL= = br (conft.) AC, & partant CN; & par la proprieté du cercle, CN' CAAM2 AB'; ce qui eft en termes Algebriques 2c+zzaa, ou zz=— 2+aa qui eft l'équa T tion que J'ai copié ce Problême dans le Traité des lieux Geometriques de M. de la Hire, parcequ'il ouvre le chemin à la refolution de plufieurs Problêmes femblables, comme eft celui qui fuit: j'y ai ajouté la conftruction & la démonftration que cet Auteur n'avoit pas donnée. PROBLEME PLAN. 17. D DECRIRE un triangle un triangle AEI, dont on connoit la FIG. 35. fomme des cotez AE + EI= AB, la bafe AI, & dont l'angle AEI, foit égal à un angle donné. Α En fuppofant la préparation précedente, & nommant les données AK, d; AI, b; & l'inconnue KI, x; l'on aura par la proprieté du triangle rectangle AK 1, xx= bb-dd; donc x=vbb dd, qui donne cette con ftruction. Soit du centre A & du rayon AI, décrit le cercle OIN qui coupera KB au point cherché I; ce qui n'a pas befoin de démonstration. PROBLEME PLAN. 18. UN rectangle ABCD étant donné, il faut décrire F16.36. un autre rectangle EHGF; dont les côtez foient également éloignez de ceux du rectangle ABCD, & que le rectangle ABCD, foit au petit EHGF dans la raifon donnée de mà n. Ayant fuppofé le Problême réfolu, & nommé les données AD, ou BC, a; AB, ou DC, b; & l'inconnue AL, ou LE, x; EF fera a-2x, & EH, b L'on aura par les qualitez du Problême, ab. ab 2ax 2bx+4xx :: m. n. donc mab 2MAX 2mbx + -2x. ax + 1 bx + nab — mah 2 4m nab-mab. Soit nab-mah 4n 4in |