K; KI, x ; BH, u; BI fera c −x, & ID, c + x. Les triangles femblables IAK, IBH donneront (IA). d ( AK) :: c — x (IB).u (BH); donc u= ed-dx. Et les triangles femblables HBA, GEA, & BEI, BAD donnent, u(HB). b (GE) :: BA. EA :: 2c (BD) c+x(ID). d'où l'on tire z= cd 2bc donc ; dx ou 2bcz ccd — dxx : mais le triangle rectan gle AKI, donne xx=22 dd; c'eft pourquoi en met tant cette valeur de xx,dans l'équation précedente,l'on en tire ༢༢.༤ 2bcz +ccdd: Mais en nommant AB‚a; l'on a, à cause du triangle rectangle AKB, aa=cc + dds mettant donc dans l'équation en la place de cc+ dd sa valeur aa, l'on a celle-cigg= +V. +aa, qui fournit cette conftru l'on Soit prife AFGE, & menée FL parallele à KB; foit prolongée KA en C, en forte que AC = FL; & ayant mené AM parallele à KB, & égale à AB, décrira du centre C par M, le cercle MN, qui coupera AK prolongée en N; & du centre A par N, lon décrira le cercle NIO qui coupera KB, en I; & ayant joint AI, l'on menera IE parallele à DA, qui formera le triangle AIE, qu'il falloit décrire. L DEMONSTRATION. I 1 eft clair que AE+ EI= AB, que l'angle AEX eft tel qu'on le fouhaite, & que AN=AI. A cause de FL (conft.) parallele à KB; l'on a AK (d). KB ( c) :: AF, ou GE ( b ). FL==(conft.) AC, & par tant bc tant CN+; & par la proprieté du cercle, CN› — +༢; CA2 — AM2— AB 2; ce qui est en termes Algebri.ques abck+zz=aa, ou z = .— 2bcz +aa qui eft l'équation que l'on a construite, d'où il fuit que la conftruction précedente réfout le Problême. C. Q. F.D. J'ai copié ce Problême dans le Traité des lieux Geometriques de M de la Hire, parcequ'il ouvre le chemin à la réfolution de plufieurs Problèmes femblables, comme eft celui qui fuit: j'y ai ajouté la construction, & la démonstration que cet Auteur n'avoit pas donnée. 17. PROBLEME PLAN. DECRIRE un triangle AEI, dont on connoit la FIG. 52. fomme des côtez AE+EI=AB, la bafe AI, & dont l'angle AEI, foit égal à un angle donné. En fuppofant la préparation précedente, & nommant les données AK, d; AI,b; & l'inconnue KI, x; l'on aura par la proprieté du triangle rectangle AKI, xx= bb — dd ; donc x=V ction. Soit du centre A & du rayon AI, décrit le cercle OIN qui coupera KB au point cherché I; ce qui n'a pas befoin de démonstration. 18. PROBLÊ ME PLAN. UN rectangle ABCD étant donné, il faut décrire un F1 G. 35 autre rectangle EHGF; dont les côtez foient également éloignez de ceux du rectangle ABCD, & que le rectangle ABCD, foit au petit EHGF dans la raifon donnée de m à n. Ayant fuppofé le Problême réfolu,& nommé les don H . 2x, & EH, b. 2x. nées AD, ou BC, a ; AB, ou DC, b; & l'inconnue AL, ou LE, x; EF fera, a-2.x, L'on aura par les qualitez du Problême, 2ax—2bx+4xx::m. n. donc mab I 2max ab.ab zmbx+ 4mxx=nab, d'où l'on tire xx= — ax + =—=— bx + Ce qui fournit cette construction. 2 nab - mab⭑ 4m Soit prise A1==a+b, & décrit fur le diametre AI, le demi cercle API. Et ayant élevé au centre K, la perpendiculaire KP, pris KOV nab — mab 4m & mené par O la ligne QOR, qui rencontrera le demi cercle aux points Q & R , par où l'on menera QL & RM paralleles à PK, qui couperont AI aux points cherchez Z & M. De forte qu'ayant pris AS, BT, & BV égales à AL, l'on formera le rectangle EHGF, le Problême sera réfolu. DEMONSTRATION. & PAR la proprieté du cercle AL × LI — LQ 2 ou err J'ai démontré la construction de ces deux derniers Problêmes algebriquement, pour indiquer la maniere de démontrer tous les autres de même; ce qui eft fi facile, que je ne crois pas qu'il foit neceffaire d'apporter un plus grand nombre d'exemples. Les Démonftrations, faites à la maniere des anciens, éclairent plus l'efprit que les Démonstrations Algebriques, quoiqu'elles ne foient pas plus certaines: mais auffi elles ne font pas fi faciles à trouver, comme il eft aifé de juger par les Démonftrations des Problêmes précedens, que l'on auroit pû démontrer par l'Algebre auffi facilement que les deux derniers. SECTION II L Où l'on donne la Méthode de démontrer les VII. les Theorêmes de Geometrie. METHOD E. A me PRE's avoir mené les lignes que l'on juge necessaires, en fuivant les Obfervations de l'article 4, on nommera celles qui doivent entrer dans la question, comme lorsqu'on veut réfoudre un Problême, avec cette difference, que l'on peut fe fervir de toutes les lettres indifferemment : car comme l'on ne cherche la grandeur d'aucune ligne, on les peut regarder comme étant toutes connues ou inconnues. , Cela fait, on exprimera en termes Algebriques, les. veritez que l'on veut démontrer, & on cherchera des équations par les proprietez du triangle rectangle, & des triangles femblables, ou autrement, que l'on ramenera par le moyen des fubftitutions aux mêmes expreffions, que celles qui expriment les veritez dont il s'agit, & alors le Theorême sera démontré. S'il arrive que tous les termes de l'équation fur laquelle on opere, fe détruisent, de forte qu'il refte 0=0, le Theorême fera encore démontré : car c'est une mar que que la chofe eft telle qu'on l'a fuppofée, fans qu'il foit neceffaire de déterminer la grandeur d'aucune des lignes qui ont été nommées. Ceci arrive ordinairement lorfque l'on regarde les Theorêmes qu'on veut démontrer comme des Problêmes qu'on veut réfoudre. Il arrive auffi quelquefois que l'on croit réfoudre un Problême, & il fe trouve par la mutuelle destruction |