(

aa

ainsi il faut démontrer que FC + FC= Aa; & que Fx
- FC = Al. 0A. AG :: Ja.!f::OB(1aa

if

· *). BD =FC=1a - X. De même 0A. AG ::ļa. f:: 06 iaa

+ x).bd=F=
-

Fc=ļa + feat. Donc FC + Fc, ou FC
if
+fC=a= Aa.

On fera les mêmes proportions pour l'hyperbole 0 A. AG
:: a. f:: OB ( *

jaa
)FC

įa. OA

f
. AG :: {'a. f :: 03 ( * +

F):88=$C = + ja.
Donc QC - FC =a= Ad.

REMARQUE.
Où l'on donne la description ordinaire de l'ellipse

e de l'hyperbole. 420. On déduit de cette proprieté la maniere ordinaire de dé- Fro.XXIII

. crire l’ellipse & l'hyperbole, l'axe Aa ou A a étant donné, & les points F, f, ou F,q des foyers étant ausli donnés : en prenant dans l’ellipse avec le compas un segment quelconque AB de l'axe Aa, & du foyer F pour centre avec ce rayon AB tirant un arc de cercle, & décrivant ensuite de l'autre foyer fpour centre un autre arc avec l'autre segment Ba pour rayon, l'intersection des deux arcs C sera un point de l'ellipse; de même dans l'hyperbole décrivant un arc du centre F avec le segment quelconque AB de l'axe a A prolongé, & ensuite de l'autre foyer @ pour centre décrivant avec l'autre segment a B de l'axe a À prolongé un second arc, le point d'intersection de ces deux arcs sera un point de l'hyperbole.

COROLL AIR E I I. 421. Si l'on mene des foyers F, f par un point quelconque C de Fic. XXV,

l’ellipse, les lignes FC, FC, & ayant prolongé fc en M en fai-
santc M=CF, on tire FM, ensuite partageant FM qui
est la base du triangle isocele FCM en deux moitiés en L, on
tire CLS, qui est perpendiculaire à FM, elle sera la tangente
au point C.

& XXV.

ССcc ii

DEMONSTRATION.
Il i faut mener

LN parallele à Ff, & par le centre K tirer KN qui sera aussi parallele à FLM; car LN partageant MF en deux parties égales en L, partage aufli Mf en deux parties égales en N; ainsi KN, partageant Ff en deux parties égales en K, &fM en deux parties égales en N, est parallele

à FM. Mais puisque Mf=FC + Cf=Aa(a), MN 419. = NF=ļa, CN*=, L N est la moitié de Ff; ainsi

LN= f. Soit SB =s, les deux triangles semblables CLN
Csf donnent cette proportion CN(X). CF + ļa) ::
LN(F).Sf=1f+7 retranchant Bfl f + x) de Sf,

aa Xx * 385. l'on aura SB(s)=

qui est * la soutangente de l’ellipse. D'où il est évident que les angles FCS, fCs sont égaux.

COROLLA IRE II I.. 422. Si l'on mene des foyers F, o de l'hyperbole à un point Fig.XXVI. quelconque C, les lignes FC, PC, & ayant pris CM CF,

&ʻmené FM, on tire CLS par le milieu L de FM base du triangle isocele FCM, CLS est la tangente au point C.

4 aa

DEMONSTRATION. Arant mené par 1 milieu de MF, LN parallele à Fko, & tiré k N qui sera parallele à MF, il est évident, comme

dans le second Corollaire, que MQ=aA=a, NL=kF 419. if, CM=CF=-{a*, ainsi CN=, QC = fx

+ a. Soit SB=s, les triangles seniblables CNL, COS donneront cette proportion CN). COC+ a)::NL(IS)

I aa :05=ift

x-s; ôtant ok of) de os, l'on aura iaa 398. ks =Ā

=kB-SB=x-s, qui est* la valeur de ks, c'est à dire la distance du centre k au point s de la soutan

gente. 423; Il est évident que les angles QCS, FCS sont égaux.

293

&

Methode generale de décrire les courbes algebriques en trouvant
tant de points qu'on voudra de ces courbes tres proches les uns

des autres, l'équation de la courbe étant donnée.
424. 1°. Il faut d'abord tirer les lignes des coordonnées qui

soient perpendiculaires, si l'on veut que ce soient les axes, &
qui fassent entr'elles l'angle qu'on voudra, si l'on veut qu'elles
soient d'autres diametres que les axes; il faudra prendre les
coupées ou les x sur l'une , & les ordonnées y seront paral-
leles à l'autre. 2°. Aprés avoir déterminé le point où com-
mencent les coupées x, il faut se servir de l'équation de la
courbe, & supposer celle des deux inconnues qui monte au
plus haut degré (on suppose par exemple que c'est x) égale
à une grandeur connue tres petite, qu'on nommera ia ; sub-
stituer cette grandeur connue dans l'équation de la courbe
à la place de x, & l'équation deviendra déterminée , &
n'aura d'inconnue quey. 3°. Il faut trouver les lignes qui sont
les valeurs de y, en résolvant cette équation par les regles
qu'on a données * quand l'équation ne passe pas le second *
degré, & par celles qu’on donnera dans la suite quand elle 294.
palle le second degré : & aprés avoir pris une coupée depuis
l'origine des x égale à ia, on menera par son extremite une
parallele à la seconde des lignes coordonnées qu’on fera
égale à la valeur de y qu'on vient de trouver, & son extre-
mité sera un point de la courbe qu'on veut décrire. On
trouvera de même une seconde ordonnée y en mettant 2a à
la place de x, une troisiéme en y mercant 3a, & ainsi de suite;
& l'on aura à tres peu près la courbe qu'on vouloit tracer.

REM A R R U E.
425. Quand y a plusieurs valeurs positives, la courbe a plu-

sieurs branches du côté où l'on a supposé les y positives :
quand y a des valeurs négatives , il faut les tirer du côté
des y négatives. Quand on trouve que la valeur de yest zero,
c'est une marque que la courbe joint le diametre des x à l'en-
droit de la valeur de x qui a donné y=0; quand on trouve
des valeurs imaginaires, c'est une marque qu'il n'y a aucune
partie de la courbe sur la partie du diametre à qui convien-
nent ces valeurs imaginaires de y, comme on le trouve dans
l'hyperbole, n'y ayant aucune partie de la courbe sur l'axe

- 1a,

ni sur ses premiers diametres , & les hyperboles opposées commençant chacune aux extremités de l'axe ou de chacun des premiers diametres. Quand en prenant

3a , &c. pour les valeurs déterminées des x, on trouve des valeurs dey, il faut mettre ces ordonnées y du côté des x négatives. L'énoncé de cette methode paroît assez clair pour

la faire clairement concevoir.

PROBLÊ ME VII. 426. QUAND

UAND on a l'équation d'une courbe , par exemple de quelqu'une des trois sections coniques par raport à l'un de ses diametres » trouver l'équation qui exprime le raport des points de la même courbe à une autre ligne droite donnée de position sur le même plan. LES

Es équations des sections coniques par raport à leurs diametres étant disposées de façon que zero en soit le second membre, sont :

yy — px=0, équation à la parabole.

yy + xx — d=0, équation à l’ellipse par raport à son premier diametre, ou bien yy + * xx —

xx — dp
--xx + yy — ISS=0, équation à l’ellipse par raport

à son second diametre, ou bien xx + Vy — 487=0; & quand le diametre est égal au parametre , elle devient xx + yy

o, qui est l’équation au cercle, quand les y sont erpendiculaires aux x.

Syy — *x+dd=0, équation à l'hyperbole par raport à son premier diametre, ou bien yy - xx+dp= 0; quand d elle devient

yy

- *x + dd **—yy — dd =o, équation à l'hyperbole par raport à son second diametre, ou bien xx yy-487= 0;quand d=n= =d, elle devient xx — YY —

On remarquera dans ces équations, 1°, que p est le parametre du premier diametre, d'est le premier diametre, 7 est le

parametre du second diametre, s est le second diametre:

dans l’ellipse & dans l'hyperbole on prend l'origine des Fig.XVI. coupées x au centre K ; mais dans la parabole l'origine XVII. des x est au sommet A. 2". Que dans l'équation à la parabole XVIII. l'une des inconnues est élevée au quarré, & l'autre n'est que

lineaire ;

0.

- 1/2 dd

= 0.

ز

LA

PARA BO LE.

lineaire ; dans l’ellipse, elles sont toutes deux élevées au
quarré avec le même signe +; dans l'hyperbole, les deux
inconnues sont aussi élevées au quarré, mais avec differents
fignes, l'une ayant +,

& l'autre - 3°. Que dans l'équation
à l’ellipse sid=p, alors d=d, & l'équation devient yy + xx

id=0, qui est l'équation au cercle, quand les y sont perpendiculaires aux x ; & quand dans l'équation à l'hyperbole d=p, alors d=d, & l'équation devient yy —- ** + dd=0, qui est l'équation à l'hyperbole équilatere par raport à ses diametres : il y a + dd, quand c'est le premier diametre, & — dd, quand c'est le second.

xy — ab=0, ou xy — aa=0 est l'équation à l'hyperbole par raport aux asymptores, & l'hyperbole est équilatere, quand l'angle des asymptotes est droit.

POUR
427. A YANI l'équation yy -- px= o de la parabole AC par Fig. XXVII,

raport à son diametre AB, sur lequel sont les AB(x), fon
parametre est AP =p, les ordonnées font BC(y) faisant
I'angle donné C B A avec le diametre BA; trouver l'équa-
tion à la même parabole AC par raport à la ligne droite ON
donnée de position sur le même plan, dont l'origine est o.

Il faut mener par o la ligne OLM parallele à AB, tirer
par le sommet A la ligne AL parallele aux ordonnées BC,
prolonger l'ordonnée CB jusqu'à la ligne ON, & elle cou-
pera OLM en M; prendre sur ON une ligne déterminée
OF qu'on nommera f, elever FG parallele aux ordonnées
NC, & on nommera la ligne connue FG(g); elle détermi-
nera OG qu'on nommera h: toutes les autres lignes de la
figure 27 font ici inutiles. On supposera ON=u, NC =2,
la donnée AL=1, & la donnée LO = i, les triangles sem-
blables OG F, OM N donnent O F(A).ON (u) :: FG (8).
NM=U;& OF (F).ON(u)::OG(b).OM=* u; l'on
aura donc BC=NC — NM — MB=R-U-L, &

ob. AB=OM – OL=ķu — i. Cela supposé ;

Il faut mettre dans l'équation yypx=o le quarré de
la valeur de BC à la place de yy, & la valeur de AB à la place
de x ; & l'on aura zz-Zuz — 2/ą + puu + ${u+ll=0.

hp + ip
C'est l'équation à la même parabole AC par raport à la
ligne on.

DD dd

.U