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C

**-**; d'où l'on déduit Al= AM + MC + CI = mn-mm+ce + dx-dd = mn+dx; parceque + MC2 (+cc) =

C

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+ DM2 (+mm) + CD2 (+ dd). Or les triangles rectangles EAI, FAG, font femblables; car ôtant l'angle EAG des angles égaux IAG, EAF, les angles reftans EAI, FAG font égaux; c'est pourquoi AI (m+dx). EI (mx=dm) :: AG(u) .FG(); ce qui donne DE (x)=dm". Il faut à prefent trouver une seconde valeur de DE (x).

ee

mnmm

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mn

mnz

mu-dz

=

Les triangles rectangles LDM, LEP, font femblables, ayant l'angle L commun; c'eft pourquoi ML(f). MD (m) :: LE (e + x). EP = em+mx; & MLf) . LD (e) :: LE (e+x). LP = ex. Mais les triangles rectangles femblables MLD, MNB, donnent ML (f). MD(m) :: MN (n—m), BM = d'où l'on déduit BP BM -ML-LP= mn¬mm+ff¬ce—ex — mex, à cause de ML (+ff) = MD2 (mm) + LD2 (+ ee). Enfin les triangles rectangles BEP, BFH, font femblables, puisqu'en ôtant des angles égaux EBF, MBf, l'angle commun MBF, les angles reftans EBP, FBH, sont égaux; c'eft pourquoi BP (TM" ~~ ) . EP ( cm+mx) :: BH = AG(u) — BK(b). FH = FG(z) + GH≈ AK(a); d'où l'on tire x =

mn-ex

mnz - emu+ amn + bem

u+ez - bm + ae

f

mnz + dmu
77212 dz

m

༢༢+ ༧༢.#*#

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zz

438.

C'est l'équation de la courbe que décrit le point F, (fig. 32 ), laquelle équation appartient à l'ellipfe, puifque & muu ont le même figne +*; & le produit uz ne s'y trouvant point, *440. 1o, la ligne des coupées AG(u) eft parallele au diametre*; * lequel diametre eft l'axe, puifque l'ordonnée FG(z) est perpendiculaire à la ligne des coupées AG(u). 2°. DM () coeficient de uu, marque le raport du parametre au diametre*. & par consequent auffi le raport du quarré du fecond diametre au quarré du premier diametre.

DN

Quand la ligne droite DE que décrit le concours des deux premiers côtés EA, EB, eft coupée par la circonfe

FFff

> 439.

devient +
༢༢

DE MONTRE' E. rence AMBNA; quand elle eft par exemple de, l'équation az → muu + bmuo, qui appartient

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bm

d+e ༢.

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ᎠᎷ

DN

440. à l'hyperbole par raport au diametre, parceque*- uu a le 438. figne —; AG eft parallele à l'axe*; puifque uz ne s'y trouve. pas, & que FG (z) eft perpendiculaire fur AG (u), & DM (m) 439. exprime le raport du parametre au diametre *, comme auffi le raport du quarré du second diametre au quarré du premier diametre.

Quand la droite DE touche la circonference AMBNA & devient e, alors les triangles MDC, CEI, MDZ s'évanouiffent, & il ne refte que les triangles AEI,FAG,MAN, MBN, BEP, BFH; & fi l'on fait une figure pour ce cas, on trouvera en se servant de ces triangles une équation à la parabole dans laquelle uz & uu ne fe trouvent point; ce qui 438. fait voir que AG eft parallele au diametre * qui doit être l'axe, puifque FG (2) eft perpendiculaire fur AG (u),

445. QUAND

REMARQUE.

U AND une fection conique eft décrite, & qu'on a une ligne droite donnée de pofition AG parallele à l'axe, pour trouver l'axe, il n'y a qu'à mener deux perpendiculaires à AG qui fe terminent de côté & d'autre à la courbe, & mener une droite par les points du milieu de chacune, ce fera l'axe, COROLLAIRE I.

446. ON N peut aisément mener une tangente de la courbe par FIG. XXXII, l'un des deux poles, comme B, fans même qu'elle foit tracée. Il faut mener par le pole A une droite A2 jufqu'à la donnée DE (on peut facilement l'imaginer, & les lignes dont on va parler, qu'on n'a pas tracées dans la figure 32, pour éviter la confufion) qui faffe avec AB l'angle QAB

1

EAF; puis mener 2B, & tirer par B la ligne Bf, qui faffe avec QB l'angle QBƒ= EBF, & cette ligne Bf fera tangente au point B: Car en imaginant la fituation des deux premiers côtés AE, BE dans le temps que le fecond côté AF est couché sur AB, & décrit la portion de courbe infiniment petite au point B; il eft clair que dans cette fituation

l'angle BAQ est égal à EAF, & QBF = EBF, & qu'à ce
moment la petite portion de courbe qui eft au point B, se
trouve dans la ligne Bf; & Bf eft par confequent tangente
au point B.

COROLLAIRE

I I.

Où l'on enfeigne à décrire telle fection conique qu'on voudra
dont cinq points font donnés.

447. COMME l'on décrit une ligne droite dont on a deux points, PIG, XXXIII,
un cercle dont on a trois points, on peut de même décrire
par la methode précedente une fection conique déterminée
telle qu'on voudra; lorfqu'on en a cinq points A, B, C,G,
F, il faut en joindre trois, A, B, C, par les lignes AB, AC,
BC, & prendre deux de ces points A & B pour poles; mener
par les autres points F, G, les lignes FA, FB, GA,GB ; faire
les angles FAE, GAK égaux chacun à l'angle CAD com-
plement à deux droits de l'angle CAB; & faire l'angle FBE
égal à l'angle ABg complement à deux droits de l'angle
ABC, & GBK ABC; mener la ligne droite EDK
par les points E & K, où les lignes AE, BE & AK, BK se
rencontrent. Si l'on fait avec des regles des angles égaux
à EAF, EBF, & fi faifant tourner ces angles fur les poles A
& B, on fait toujours en forte que les premiers côtés AE,
BE fe coupent fur la droite EDK, il eft clair que le point F
qui eft le concours des deux seconds côtés AF, BF décrira
la fection conique qui paffera par les cinq points donnés.

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Si l'un des cinq points ou une partie des cinq points étoit dans l'une des hyperboles, & les quatre autres ou l'autre partie dans l'hyperbole oppofée, il faudroit faire les angles FAE, GAK égaux chacun à l'angle CAB, & non pas à fon complement à deux droits CAD; & de même les angles FBE, GBK égaux chacun à l'angle CBA, & la ligne EDK pafferoit entre les poles A & B, comme dans la figure 30.

AVERTISSEMENT.

448. Si au lieu d'une ligne droite DE l'on faifoit parcourir au F1G, XXX. point de concours E des deux premiers côtés AE, BE des & XXXI. angles mobiles EAF, EBF, une des fections coniques, laquelle on voudra, qui paffat par l'un des poles, par exemple

par A, le point de concours F des deux feconds côtés AF,

FFff ij

BF, décriroit une courbe du fecond genre, c'est à dire, dont
on trouveroit l'équation, comme on a fait celle des fections
coniques, dans laquelle les inconnues auroient trois dimen-
fions; & fi l'on faifoit décrire au point de concours E la
courbe du fecond genre qu'on viendroit de tracer,
le point
de concours F décriroit une courbe d'un genre plus élevé, &
ainfi à l'infini.
Avertiffement.

On ne porte pas ici cette matiere plus loin, parcequ'il faudroit faire un traité entier de ces lignes courbes ; & on s'eft propofé feulement de faire voir ici quelques ufages de l'Analyfe par raport aux courbes geometriques, & furtout aux fections coniques, & ce que l'on en a dit fuffit pour èntendre ce que l'on dira dans la fuite qui y aura raport, fans avoir besoin d'autres ouvrages.

DES COURBES QUI NE SONT PAS GEOMETRIQUES.

pour

449. OUTRE les courbes geometriques dont les coordonnnées font de fimples lignes droites par le moyen defquelles on exprime un raport commun à tous les points de chacune de ces courbes par une équation algebrique, où les inconnues ont un nombre déterminé de dimenfions; il y a une infinité d'autres courbes dans chacune defquelles il y a, comme dans les courbes algebriques, un raport commun à tous leurs points que l'Analyfe exprime par une équation; mais ce ne peut pas être en y employant de fimples lignes droites coordonnées qui ayent entr'elles un commun raport, qui puiffe être exprimé par une équation algebrique, ce feroient des courbes geometriques; mais dans quelques-unes on se fert pour l'une ou l'autre des coordonnées, & quelquefois pour toutes les deux, de lignes courbes, comme d'arcs de cercle, ou d'arcs d'autres courbes; ou bien l'on fe fert de lignes droites pour coordonnées; mais que l'on fuppofe égales à des arcs de cercles ou d'autres courbes; dans quelquesunes les abciffes partent d'un même point, & les ordonnées font des arcs de courbes; dans quelques autres les coordonnées quoiqu'elles foient des lignes droites ou des arcs de courbes, elles fuppofent encore la quadrature de quelques courbes, c'est à dire l'expreffion des coordonnées dans l'équation de ces courbes, contient l'expreffion de la quadrature de quelque courbe divifée par quelque ligne. Il y en a

dont on ne connoît le raport commun de tous les points, ou
de toutes les lignes infiniment petites dont leur contour est
compofé, que par des lignes infiniment petites qui font des
triangles infiniment petits qui donnent chacun une même
équation, qui devient par le moyen des grandeurs chan-
geantes x, y, &c. l'équation de la courbe.

Quelques-uns appellent ces lignes mechaniques ; d'autres
pour prévenir le préjugé que donneroit ce nom de mechani-
que aux Lecteurs, en les portant à croire que ces courbes
n'ont pas des proprietés & des ufages qu'on puiffe démon-
trer auffi exactement que celles des courbes geometriques,
aiment mieux les appeller tranfcendentes. Il n'importe quel
nom leur donner, & on peut les appeller mechaniques;
mais il eft certain que depuis l'heureuse découverte du calcul
differentiel & integral, on en démontre les proprietés aussi
exactement que celles des courbes geometriques, & qu'on
en fait prefque autant d'ufage dans la Geometrie & dans les
fciences phyfico.mathematiques, & que la plupart des plus
belles découvertes & des plus beaux Problemes refolus par
les Sçavans de notre temps, regardent les proprietés & les
ufages de ces courbes.

que

Quoiqu'on puiffe exprimer les principales proprietés de plufieurs courbes mechaniques par des équations où il ne faut le calcul ordinaire de l'Algebre; on ne peut gueres cependant découvrir les proprietés & les ufages des courbes mechaniques, qu'en employant dans leurs équations les expreffions du calcul differentiel & integral, & en fe fervant de ce calcul; c'eft pourquoi on se contentera ici de donner feulement l'idée de quelques courbes mechaniques.

DES LIGNES SPIRALES.

450. Si l'on imagine que le rayon CA prolongé à l'infini, du FIG. XXXIV. cercle AED, fe meut en tournant autour du centre C, en commençant au point A, & allant de A vers E, D, Á, & qu'en même temps un point C parte de C, & fe meuve fur le rayon CA de maniere qu'il arrive au point A en même temps que CAs la ligne CBA que décrit le point C par ce mouvement, s'appelle spirale. Sa proprieté principale se déduit de fa formation, qui eft que la circonference AEDA est à un arc quelconque AED pris depuis l'origine A juf

FFff ij

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