Pl. 5. Fig. 80.

BF, nous avons l'aire de tous ces Triangles:& les ajoûtant ensemble, la fomme eft égale au rectiligne ABCDE.

Nous trouvons l'aire des Poligones regu81. liers, en multipliant la moitié de leur contour, par la perpendiculaire tirée du centre à un de leurs côtez: car multipliant IG par AG, on aura le rectangle HKLM égal au Triangle AIB: Et faifant le même pour tous les autres Triangles,prenant toûjours les de mi-bafes,on aura le rectangle HKON, qui a le coté KO compofé des demi-bafes,& par confequent égal au demi-contour; & le côté HK égal à la perpendiculaire IG.

C'eft fuivant ce principe, qu'Archimede a démontré, qu'un Cercle étoit égal à un rectangle compris fous le demi-diametre, & fous une ligne égale à fa demi-circonference. Mais cela fe trouve démontré autrement dans le Theor- 6. de la Planimetrie de Monfieur Ozanam.

PRO

PROPOSITION XLII.

PROBLEME."

Faire un Parallelograme égal à un Triangle, fous un angle donne.

N defire un Parallelograme, qui Pl. s.

Oroit égal au Triangle ABC, & qui Fig. 2.

ait un angle égal à l'angle E. Partagez la base BC en deux également au point D: tirez AG parallele à BC, (par la 31.) Faites auffi l'angle CDF égal à l'angle E, (par la 23.) Et enfin tirez la parallele CG. La figure FDCG eft un parallelograme, puifque les lignes FG, DC, DF, ČG, font paralleles: Il eft égal au Triangle: ABC, & l'angle CDF, est égal à l'angle E.

"

Démonftration.

Le. Triangle ADC eft la moitié du parallelograme FDCG; (par la 41.) il eft auffi la moitié du Triangle ABC, puifque les Triangles ADC, ADB font égaux (par la 37.) Donc le Triangle ABC eft égal au parallelograme FDCG.

USAGE.

Cette Propofition & les deux fuivantes, font comme trois Lemmes pour réfoudre la Prop. 45.

F

& 33.

Pl. I. Fig. 15.

Pl. 5. Fig. 84.

PROPOSITION XLIII.

THEOREM E.

Les complemens d'un parallelograme font égaux.

ANs le parallelograme ABDC, les complemens AFEH, EGDI font

égaux.

Démonftration.

Les Triangles ABC, BCD font égaux (par la 33.) Donc fi on en fouftrait les Triangles HBE, BIE; FEC, CGE qui font auffi égaux (par la même, ) les complemens AFEH, EGDI qui reftent, seront égaux.

PROPOSITION XLIV.

PROBLEM E.

Décrire un parallelograme fur une ligne, qui foit égal à un Triangle, & qui ait un angle déterminé.

N propofe de faire un parallelogra grame, qui ait un de ses angles égal à

l'angle E, un de fes côtez égal à la ligne
D, & qui foit égal au Triangle ABC. Fai-
tes (par la 42.) le parallelograme BFGH,
qui ait l'angle HBF égal à l'angle E, &
qui foit égal au Triangle. ABC. Conti-
nuez les côtez G, GF, de forte que
HI foit égal à la ligne D: tirez la ligne
IBN, & deux paralleles à GI & BH. Pro-
longez auffi le côté FB. Le parallelogra-
me MK eft celui que vous défirez.

Démonftration.

Les angles HBF, ou l'angle E, KBM font égaux, (par la 15.) Pareillement les fignes KB, DM; KD, BM étant paralleles, les angles oppofés B & D, feront égaux (par la 34.) & par confequent Pangle D'eft égal à l'angle E. Le côté.KB eft égal à la ligne HI ou D: enfin le parallelograme MK est égal ( par la précedente,) au parallelograme GFBH; & celuici a été fait égal au Triangle ABC. Donc le parallelograme MK eft égal au Triangle ABC, & il a un angle D, égal à l'angle E.

USAGE.

- Cette Propofition contient une efpece de Pl. s. divifion Géométrique : car dans la divifion Fig. 35. Arithmetique, on propose un nombre, qui •peut être imaginé comme un rectangle ; par exemple, le rectangle AB, de 12. pieds

quarrez, qu'il faut divifer par un autrē
nombre comme par 2. c'est-à-dire, qu'il faut
faire un autre rectangle, égal au rectangle
AB, qui ait BD de 2. pour un de fes côtez;
&chercher de combien de pieds fera l'autre
côté, c'est-à-dire, le quotient. On en vient
à bout géometriquement avec la regle & le
compas. Prenez BD de 2. pieds, tirez la
diagonale DEF: la ligne AF, eft celle que
vous cherchez. Car ayant achevé le rectan-
gle DCFG, les complemens EG, EC, font
égaux (par la 43.) & EG a pour un de fes
cotez la ligne EH égale à BD de 2. pieds,
EI égale à AF. Cette façon de divifer s'ap-
pelle Application, parce qu'on applique le
rectangle AB à la ligne BD, ou EН; &
c'eft la raison pour laquelle on appelle la di-
vifion Application; car les anciens Géome-
tres fe fervoient plutôt de la regle & du com
pas, que de l'Arithmetique.

Pl. 5. Fix 36.

&.87.

PROPOSITION XLV.

PROBLEME.

Décrire un parallelograme, qui ait un angle déterminé, & qui foit égal à un rectiligne donné.

N propofe le rectiligne ABCD auquel il faut faire un parallelograme