EXEMPLE V.

Theorême propofé en forme de Problême.

5.

UN cercle AEBF, dont le centre eft C, & un diame- FIG. 42. tre A B étant donnez ; il faut trouver au dedans du cercle le point D, d'où ayant abaiffe la perpendiculaire DI fur le diametre AB; & par où ayant mené une droite quelconque EDF; ED × DF + DI' foit=AI x IB.

Ayant mené par D la droite GDH parallele à AB; puifque GD DH= ED × DF, on peut mettre GD x × DH en la place de ED × DF; de forte DF; de forte que le Problême fe réduit à trouver le point D; en forte que GD × DH + DI = AI × IB.

Ayant fuppofé le Problême réfolu, mené CK parallele à ID, le rayon CH, & nommé les données CH, AC, ou CB, a; & les inconnues CI, ou KD, x; CK, ou ID, y; AI fera a—x; IB, a+x; KH,√aa—yy; DH, Vaa―yy + x; DG, Vaa―yy—x, & les conditions du Problême donneront aa -yy -xx (GD × DH)+yy (DI) = =aa-xx (AI x IB) qui fe réduit à o = 0. C'est pourquoi le Problême propofé eft un Theorême, & comme il ne refte aucune ligne pour déterminer la pofition du point D; il fuit que l'on peut prendre ce point par-tout où l'on voudra dans le cercle.

L'on auroit pû démontrer ce Theorême comme le précedent, & l'on pourroit auffi démontrer tous les Theorêmes, comme on a fait celui-ci, en les confiderant comme des Problêmes.

EXEMPLE VI.

Theorême.

6. LES parallelogrammes BD, CE, & les triangles ABC,
DCF qui ont mème hauteur AG, font entr'eux comme leurs
CF.
bafes BC,

Ayant nommé BC, a; CF,b; & la hauteur AG, c; l'on aura ac au parallelogramme BD que je nomme & bc au parallelogramme CE, que je nomme y ; il faut démontrer que x (BD). y. (CE) :: a. b.

x,

DEMONSTRATION.

PUISQUE x = ac, & " br, l'on a x. y :: ac. bc;
donc bcx=acy, ou bx=ay; donc x.ya. b. C.Q.F.D.
C'eft la même chofe pour les triangles.

EXEMPLE

VII.

Theorême.

F16.44.7. LES triangles femblables ABC, DEF, font entr'eux
comme les quarrez de leurs côtez homologues AB, DE.

Ayant nommé AB, a; BC,b; DE, c; EF, d; le triangle
ABC, x; & le triangle DEF,y; les produits ab(AB× BC),
& cd (DE x BF) feront en même `raison que les triangles
ABC, & DEF, ou x, & y; c'est pourquoi l'on aura ab.
cd :: x. y; donc cdx = aby: mais la reffemblance de ces
triangles donne a. (AB) b :: (BC) :: c ( DE ) d. ( E F ) ;
donc ad be; donc d= ; & mettant cette valeur de
d:
d dans la premiere équation, l'on aura bccx = aby, ou
ccx=aay; donc x. y: aa. cc:: AB2. DE2. C. Q. F. D.

=

=

4

L'on démontrera de même, que tous les polygones femblables font entr'eux comme les quarrez de leurs côtez homologues. Et comme les cercles font auffi des polygones femblables d'une infinité de côtez, dont les

diametres font les côtez homologues; il fuit que
les cer-
cles font entr'eux comme les quarrez de leurs diametres,
ce que l'on démontre auffi facilement que pour les trian-
gles femblables.

EXEMPLE

Theorême.

8. LES folides femblables font entr'eux comme les cubes de leurs côtez homologues.

VIII.

Soient deux Spheres AB & CD; ayant nommé le F1 G.453 diametre AB de la Sphere AB, a; fa circonference c; 46. le diametre CD de la Sphere CD, b; fa circonference, d; la Sphere AB, x; & la Sphere CD, y. Il faut démontrer que x. y :: a', b3.

DE'MONSTRATION.

6

LA Sphere AB est égale à 4, & la Sphere CD=bbd;
donc x. y::. bbd :: aac. bbd; donc bbdx
donc bbdx = aacy:
Mais les cercles étant des polygones femblables, leurs
diametres font comme leurs circonferences; c'est pour-
quoi a. b: c. d; donc ad be; & partant d = b;
mettant donc cette valeur de d dans la premiere équa-
tion, l'on a aacy, ou b'x=a'y; donc x. y:: a'.

bc

b'cx

a

=

b. C. Q. F.D.

On démontrera la même chofe, & de la même maniere pour les autres folides femblables.

EXEMPLE

IX.

Theorême.

2. LES

ES triangles ABC, DEF dont les bafes BC, EF, & FIG. 47. les hauteurs AĞ, DH font en raison reciproque, font égaux.

Ayant nommé BC, a; EF, b; AG, c; DH, d; le
triangle ABC, x; & le triangle
& le triangle DEF, y; l'on aura le
triangle ABC == x, & le triangle DEF=bds
= y; donc x. y :: ac. bd :: ac. bd; donc bdx = acy:
Mais (Hyp) a. b::
·b::d. c; donc ac= =bd; c'eft pourquoi
la premiere équation bdx
=acy
acy devient x=y, A BC
DEF. C. Q. F. D.

On démontrera de la même maniere que les parallepipedes, les prifmes, les cilindres, les cones & les pirami des, dont les bafes & les hauteurs font en raison reciproque, font en raifon d'égalité.

On ne donnera pas davantage d'exemples de la Méthode de démontrer par l'Algebre les Theorêmes de Geometrie: car les quatre Sections fuivantes, où l'on démontrera les proprietez les plus confiderables des Sections. coniques, en fourniront un affez grand nombre.

SECTION

IV.

Des Sections du Cone & du Cilindre.
GÉNÉ
GENERALES.

DÉFINITIONS

N appelle Section Conique, une ligne courbe
IDH, qui eft la commune Section d'un Plan
EDF, & de la fuperficie d'un Cone ABC, dont A eft le
fommet; & la bafe eft un cercle dont le diametre est BC.

O

FIG. 48, IX. I. 49, 50.

2. Le triangle ABC eft appellé le triangle par l'axe; parcequ'il eft la commune Section du Cone & du Plan qui paffe par le fommet A, & par le diametre BC de la bafe, & que l'axe du Cone, eft dans le Plan du même triangle ABC.

SUPPOSITION.

3. ON fuppofe que le Plan EDF, eft perpendiculaire au Plan du triangle ABC, & que le plan du triangle ABC, eft perpendiculaire à la base du Cone.

COROLLAIRE.

4.

D'où il fuit que DG, qui est la commune Section du Plan EDF, & du triangle ABC, eft perpendiculaire à EGF, qui eft la commune Section du même Plan EDF, & de la bafe du Cone; & que la même EGF, eft perpendiculaire à BC; & par confequent coupée (Fig. 48, & 50.) par le milieu en G; d'où l'on conclura auffi que fi l'on mene par quelque point Z de la ligne DG, une ligne MN parallele à BC, & une autre ligne IH parallele à EF; ces deux lignes MN, & IH, feront dans un Plan parallele à la bafe du Cone, dont la commune Section avec la fuperficie du Cone, fera un cercle qui paffera par les points M, I, N, H, & dont le diametre fera MN, qui coupera à angles droits, & par le milieu en Z, la ligne IH.

Il fuit auffi que le point D, qui eft commun à la courbe IDH, & au côté AB du triangle ABC, eft plus près du fommet A dans les fuppofitions précedentes, que tout autre point de la même courbe.

1

DEFINITIONS

PARTICULIERES.

5.LA Section conique IDH, est nommée parabole, F16.48. lorfque le Plan coupant EDF, eft parallele à un des côtez AC du Cone ou du triangle ABC, DG eft nommée l'axe de la parabole; D, fon fommet, DL, l'abciffe, ou la coupée; IL, ou LH, l'appliquée, ou l'ordonnée à l'axe.

6. La Section conique IDH, eft appellée, ellipfe, lorf FIG. 49. que le Plan coupant EDF, coupe les deux côtez AB, AC du Cone ou du triangle par l'axe, & n'eft point pa rallele à la base du Cone. La ligne Dd eft nommée l'axé,