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substituant les valeurs de xx & yy dans D, on aura

aaff + zaasz + aazz X bb

4CC

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divifant tout par aabb après avoir multiplié par 4cc on aura S+2/2+22—4cc = ss — 2f2 + 2 qui fe réduit à 4/% = 4cc ou fz = cc; c'est-à-dire, PI × IM— KG × GĎ, qui fait voir que f, ou PI, ou MK croiffant, zou MI diminue; ce qui peut aller à l'infini. Et comme s, ou PI x IM, doit toujours être = KG × GD; il fuit que quelque grande que l'on fuppofe f, ou PI, ou KM, il faut que MI ait encore quelque longueur; & partant KM ne rencontrera jamais l'hyperbole IDH. C. Q. F. D.

DEFINITION.

LES
s lignes KC, & KF font nommées afymptes de l'hy-
perbole.

COROLLAIRE.

IL eft clair que tous les parallelogrammes, comme
KIMP, font égaux entr'eux, & au parallelogramme

KGDO, en quelqu'endroit de l'hyperbole que l'on prenne le point I.

PROPOSITION V.

Theorême.

FIG. 52. 17. SOIT AB une fuperficie cylindrique coupée par un Plan AB qui paffe par l'axe du cylindre. Je dis que fi l'on coupe la fu perficie cylindrique par un autre Plan dIDHd perpendiculaire au Plan AB, & incliné à l'axe du cylindre, la commune Section dIDHd de ce Plan, & de la fuperficie cylindrique, fera une ellipfe.

DE'MONSTRATION.

AYANT divifé Dd qui eft la commune Section des Plans
AB,&dIDHd par milieu en K, & pris librement un point
I fur la même Dd; fi l'on fuppofe la fuperficie cylindri-
que coupée par deux Plans paralleles entr'eux, & perpen-
diculaires à l'axe du cylindre, qui paffent par les points
K&L, les communes Sections SVTR, MHNI de ces
deux Plans, avec la fuperficie cylindrique, feront deux cer-
cles dont les communes Sections VKR, HLI, avec le
Plan di DHd, feront perpendiculaires à Dd, à ST, & à
MN; & dont les communes Sections ST, MN, avec le
Plan AB, font les diametres, d'où il fuit que KV=
KV=KR,
& LH=LI,& que le point K qui divife Dd par le mi-
lieu; divife de même ST; & partant le point K eft le cen-
tre du cercle SVT.

Ayant donc nommé les données KD, ou Kd, a ; SK; ou KT, ou KR, ou KV,b; & les indéterminées KL,x; LI, y; DL fera a+x, & Ld a — x.

ذلاد

Les triangles femblables DKS, DLM donnent DK ( a ). KS (b) :: DL (a+x). LM =

ab + bx

a

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Pareille

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cause du cercle MIN, ML × LN — LIa, c'est-à-dire en

termes Algebriques

aayy

bb.

aabb bbxx

aa

=

yy ou aa -XX

; & comme cette équation eft la même que la précedente

(no. 10 ). Il fuit que la courbe dIDHd, eft une ellipse. C. Q. F. D.

PROPOSITION VI.

Theorême.

18. SI les bafes des fuperficies coniques ; & par confequent les FIG. 48, courbes IMH, qui font les communes Sections des mêmes fu- 49, 50. perficies coniques par des Plans paralleles aux bafes, ont cette proprieté qu'une puissance quelconque de leurs appliquées LH, ou LI, foit égale au produit de deux puissances de LM, & LN, telles que la fomme de leurs expofans, foit à l'expofant de la puiffance de LI, c'est-à-dire par exemple, que LIP+9=LM2 × LN, ou LM2 x LN3. Je dis

+

=

que

les

Sections coniques IDH, telles que nous les avons définies ( no. 5, 6, & 7.) font de même genre que les courbes IMH.

En donnant aux lignes les mêmes noms qu'on leur a données (n°. 8, 10, & 11); & faisant p+q=m, p & q, fignifient tels nombres qu'on voudra entiers ou rompus.

Soit premierement le Plan coupant EDF parallele à AC. Il faut prouver que la courbe IDH, eft une parabole du même genre que la courbe IMH.

DE'MONSTRATION.

L'ON trouvera, comme on a fait (n°. 8.) ZM

сх

LM = ;

b

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LN-c': mais par la proprieté de la courbe IMH,

P

LM2 × LN1=LI", c'est-à-dire, en termes Algebriques,

P

C

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m

=y, qui est une équation à une parabole du même genre que la courbe IMH, puifque l'inconnue y, dont l'expofant eft plus grand que celui de x, eft élevée à la même puiffance que LI=y, dans l'équation à la courbe IMH. C. Q. F. D.

Ce fera la même Démonstration pour l'ellipfe & pour l'hyperbole, & pour la Section du cylindre.

Mr De la Hire qui eft le feul que je fçache qui a parlé de ces courbes, les appelle cercles du fecond, troisième, quatrième, cinquième genre, &c.

m

=

Si dans l'équation précedente ZITM LM2 × LN9, on fait p=2, & q=1, ou p=1, &q=2; m = p + q fera =3, & l'équation deviendra LI3 — LM2 × LN, ou LI LM x LN, & la courbe IMH, fera un cercle du fecond genre.

Dans la même fuppofition de p=2, &q=1, l'équay", devient '* —y3, qui est du même

tion

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c'xx

bb

degré que celle de la courbe IMH, & qui appartient par confequent à une parabole du second genre, qu'on appelle feconde parabole cubique.

c3x

b

Sip=1, & &q= 2, l'équation

m

Ър

=y
=y" deviendra

=y', qui se rapporte encore à une parabole du second genre, qu'on appelle premiere parabole cubique. Il en eft ainfi des autres.

19.

REMARQUE.

ON détermineroit avec la même facilité la nature, & le genre de la courbe IDH, dans le Cone, & dans le Cylindre; fi la courbe IMH, dont le Plan est parallele à la base BC, étoit une Section conique d'un genre quelconque. Et en general, la nature de la cour

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