quarré ABCD, continuez le côté CD, de forte que CD, DE, foient égales : tirez AE, le quarré de AE fera double du quarré ABCD, puifqu'il est égal (par la 47.) aux quarrez de AD, DE. Faifant l'angle droit AEF,& prenant EF égal à AB, le quarré de AF, fera triple de ABCD. Faifant encore l'angle AFG droit, &FG égale à AB, le quarré de AG fera quadruple du quarré BD; ce que je dis du quarré fe doit entendre de toutes les figures femblables.

ELEMENS

DEUCLIDE

LIVRE SECOND.

UCLIDE traite dans ce Livre des

E puiffances des lignes droites, c'eft

à-dire, de leurs quarrez; comparant les divers rectangles qui fe forment fur une ligne divifée, tant avec le quarré qu'avec le rectangle de toute la ligne. Cette Partie eft très-utile, puifqu'elle fert de fondement aux principales Pratiques det l'Algebre. Ces trois premieres Propofitions démontrent la troifiéme regle de l'Arithmetique: la quatriéme nous enfeigne à tirer la racine quarrée de quelque nombre que ce foit : les fuivantes, jufqu'à la huitiéme,fervent en plufieurs rencontres dans l'Algebre : les autres nous donnent des Pratiques propres à la Trigonometrie.

Ce Livre paroît d'abord très-difficile,

parce qu'on s'imagine qu'il contient quelque myftere, neanmoins la plupart de fes démonftrations font fondées fur un principe fort évident; qu'un tout eft égal à toutes fes parties prifes enfemble, ainfi on ne doit pas fe rebuter, quoiqu'on ne comprenne pas du premier coup, les démonftrations de ce Livre.'

Le parallelograme rectangle, ou fimplement rectangle eft un quadrilatere compris fous deux lignes, dont l'une eft la hauteur & l'autre la longueur, comme Pl. 1. nous l'avons déja dit dans les Définitions Fig. 1. du premier Livre : c'eft de ces fortes de rectangles dont nous allons parler dans ce Livre ici; ainfi la figure BD,fera un rectangle, puifque les quatre angles ABCD font droits. Suppofons que la ligne BC, foit de 6. pieds, & l'autre DC de 4. multipliant 6. par 4. on aura 24. pieds pour la valeur du rectangle BD, ce qui fait voir que pour trouver la fuperficie d'un rectangle, il faut multiplier la base par la hauteur.

Fig. 2.

La figure FDH s'appelle gnomon,étant comprife par les deux rectangles FE& HG, & le quarré EG.

PROPOSITION I.

THEOREM Е.

Si on propofe deux lignes, dont l'une foit divifée en plufieurs parties; le rectangle, compris fous ces deux lignes,eft égal aux rectangles compris fous la ligne qui n'eft pas divifée, & fous les parties de celle qui eft divifée.

Q

Fig.

3.

U'ON propose les lignes AB, AC; Pl. 1. & AB foit divifé en tant de que parties qu'on voudra; le rectangle AD, compris fous les lignes AB, AC, eft égal au rectangle AG,compris fous AC,AE; au rectangle EH compris fous EG égale à AC, & fous EF; & au rectangle FD, compris fous FH égale à AC,& fous FB. Démonftration.

Le rectangle AD, eft égal à toutes fes parties prifes ensemble, qui font les rectangles AG, EH, & FD; fans qu'il y en ait aucun autre. Donc le rectangle AD, eft égal au rectangle AG, EH, FD, pris enfemble.

Par les nombres.

La même Propofition se verifie dans

les nombres. Suppofons que la ligne AC, eft de 5. pieds, AE de 2, FE de 4, FB de 3, & par confequent AB de 9. le rectangle compris fous AC5;& AB 9, c'eft-à-dire fois qui font 45, eft égal S 9 à deux fois 5. ou 10. à 4. fois 5. ou 20, & à trois fois 5. ou 15; car 10. 20. & font 45.

A.

53.

B.

B.

D.

E.

F.

USAGE.

Cette Propofition démontre 8. la pratique ordinaire de la multiplication. Par exemple,

C. 50 3. qu'on doive multiplier le nom8.bre A 53, que la ligne AB reprefente, par le nombre B. 8. 24. Fe divife le nombre A, en au400. tant de parties qu'il a de ca424. racteres par exemple,en deux, Sçavoir 50 & 3 qui eft C,lef quelles je multiplie par 8, fant: 8 fois 3 font 24 qui eft D, & ainfi je fais un rectangle. Multipliant enfuite le nombre 50 par 8 le produit fera E, 400. Il est évident que le produit de 8 fois 53, qui eft F, 424. eft égal au produit 24. &au produit 400. mis enfemble.

di