poids quelconque pouvant être regardées (Ax. 2.) comme autant de puiffances qui agiffent enfemble fur lui de haut en bas avec des forces égales à ces pefanteurs, & fuivant les mêmes directions qu'elles ; il fuit du Corol. 10. du Lem. 3. qu'il en doit réfulter à ce corps entier une impreffion ou force totale de haut en bas, qui en faffe la pefantcur totale, & fuivant une ligne qui ( Déf. 3.) en foit la direction. Quelle que foit cette ligne de dire&tion de la pesanteur d'un corps, elle s'appellera verticale dans la fuite ; & les perpendiculaires à celle-là, seront nommées horisontales. Si en quelque fens qu'on tourne ce poids, la direction de fa pefanteur paffe toûjours par un même point de ce corps, ce point s'appellera à l'ordinaire le centre de gravité de ce même corps.

COROLLA IR E.

Le Corol. 1. du principe general fait voir qu'un poids · qui auroit un tel point, quelque fituation qu'on lui donnât autour de ce point, il y demeureroit toûjours en équilibre & en repos tant que ce point feroit foûtenu, ou fixement arrêté, nonobftant la mobilité de ce corps autour de ce même point fixe.

On verra dans la fuite fi un tel centre de gravité eft poffi ble, & en quel fens c'est-à-dire, quelles doivent être pour. cela les directions des pefanteurs particulieres de toutes les parties des poids. En attendant nous ne nous fervirons poino des centres de gravité, mais feulement des directions de ces poids, lefquelles fe trouvent toujours (Corol. 2. princip. ge-ner.) étre les lignes fuivant lefquelles ils demeurent fufpendus.

LEMME XII.

Soit un parallelogramme quelconque MDNG, dont les F10.314 deux côtez DM, DN, prolongez ( s'il eft neceffaire) foient 32. rencontrez perpendiculairement en H, K, par les deux cótel HR, KR, d'un angle auffi quelconque HRK placé en méme plan. Je dis que fi HRXDM KRXDN, ou (ce qui revient au méme ) fi HR. KR :: DN. DM. La diagonale DG du par

ra lelogramme MDNG, prolongée (s'il est necessaire ) passe-
ra par l'angle R.

DEMONSTRATION.

Si l'on nie que la diagonale DG paffe par l'angle R, foit menée la droite DR, qui foit prife pour le finus total; foit auffi prife fpour la marque ou la caracteristique des autres finus. Les angles (Hyp.) droits en H, K, donneront /HDR./KDR :: HR. KR(Hyp.):: DN. DM:: MG. DM (Lem.8. Cor. 2.) :: MDG./MGD::/MDG. JNDG. Cependant fi DG ne le confondoit pas avec DR, l'on auroit ici fHDR à /KDR en moindre raifon que MDG à NDG; & en plus grande, fi DR y étoit de l'autre côté de DG. Donc ces deux lignes ÚG, DR, doivent fe confondre en une ; & par confequent la diagonale DG ainfi confondue avec DR, & prolongée, s'il eit neceflaire, paffera comme DR par l'angle R. Ce qu'il falloit démontrer.

LEMME XIIL

Par un point D donné dans un angle donné HAG, me ner une ligne droite BC, que ce point D divife en raison donwée de màn, c'est-à-dire,en forte qu'on ait BD. DC :: m. n.

SOLUTION.

Sur AD prolongée du côté de D, foit prise DE. AD:: .m. Soit menée EC parallele à AG, & qui rencontre AH en C; de ce point C par le donné D foit menée CD, qui prolongée rencontre AG en B: je dis que CB eft la ligne requife, c'est-à-dire, que non feulement elle paffe par le point donné D, mais encore qu'elle y eft divifée de maniere que BD. DC :: m. n. ainfi qu'il eft ici requis.

DEMONSTRATION.

Fuifque AB, EC, font (conftr.) paralleles entr'elles, & qu'ainfi les triangles ADB, EDC, font femblables entr'eux, l'on aura ici DC. DB:: DE. DA (constr. ) : : n.m. Donc

Donc (en renverfant) BD. DC::m.n. Ce qu'il falloit faire & démontrer.

LEMME XIV.

Deux points A, B, étant donne à volonté, mener du premier A deux lignes AD, AC, de grandeurs données P, Q; & du fecond B, une ligne BC, laquelle foit diviféc en D, C, par ces deux-là, en raison donnée de mà n : c'est-à-dire, en forte qu'on ait ici tout à la fois ADP, AC=Q, & BD.

DC:: m. n.

SOLUTIO N.

Soit menée AB par les deux points donnez A, B, & fur elle prolongée du côté de B, foit prise AE. AB::n.m. Des centres A, E, & des rayons AF="#"×P, EF=Q. foient décrits deux arcs de cercles qui fe coupent en F; enfuite après avoir mené AC, FC, paralleles à EF, EA, & qui fe coupent en C, foit menée BC, que la droite AF coupe en C. Cela fait, je dis que AC=Q, AD=P, & que BD. DC:: m. n. ainfi qu'il eft ici requis.

DEMONSTRATION.

,

Car le parallelogramme AEFC réfultant de cette conftruction, rendant AC-EF (Hyp.) =Q, CF=AE, & les triangles ADB, FDC, femblables entr'eux donne premierement AC=Q; fecondement, FD. AD: : FC. AB:: AE. AB (conftr.)::n.m. D'où résulte ( en composant) m➡n. m: : AF ("="xP). AD=P. Troifiéme

m n

ment enfin BD. DC: : AB. FC: : AB. AE ( constr. ) : : m. n. Donc cette même construction donnera ici tout à la fois AC=Q, AD=P, & BD. DC: : m.n. Ce qu'il falloit dé

montrer.

F16.34

LEMME XV.

Soit une ligne droite XO mobile autour d'un de fes points F1c: 353 B fixe, qui la divife en deux branches ou parties BX,BO, telles 36,

L

qu'on voudra: imaginons-la fe mouvoir de XO en xa autour de ce point fixe B. Par un autre point quelconque A foient menées des points X, x, 0, w, les quatre droites XA,xA, OA, wA, fur lesquelles du point B tombent autant de perpendiculaires BD, Bd, BP, Bp. Je dis que la branche BX qui fe fera ainfi approchée du point A en Bx, pendant que l'autre BO (moindre, plus grande, ou égale à elle il n'importe) s'en: fera éloignée en Bw, donnera toûjours BP. BD > Bp. Bd. c'est-à-dire, BP à BD en plus grande raison quc Bp à Bd.

,

DEMONSTRATION..

Après avoir pris Xb, xß, chacune égale à BO ou à Bo fur OX, wx, foient menées bm, Bu, perpendiculaires fur AX, Ax, prolongées s'il en eft befoin. Cela fait,

1o. En prenant Ba ou fon égale Bx pour le finus total, l'on aura (Def. 9. Corol. 1.) Ru à Bp comme le finus de l'angle ßxμ eft au finus de l'angle Bop, ou (Def 9. Corol. I.) comme le finus de l'angle Bx eft au finus de l'ange BA ; & confequemment auffi ( Lem. 8. Corol. 2.) comme A eft à Ax, c'est-à-dire, fu. Bp :: Aa. Ax. Mais les triangles (conft..) femblables Bxd, Bxu, donnant Bd. 2μ:: BX. Bx ( constr. ) :: BX. BO. Donc (en multipliant par ordre) Bd. Bp :: BXxA. BO×Ax.

2o. En prenant encore BO ou fon égale bX pour le finus total, l'on aura de même ( Déf. 9. Corol. 1.) BP à bm comme le finus de l'angle BOP eft au finus de l'angle bXm; & confequemment auffi (Lem. 8. Corol. 2.) comme AX eft à AO, c'eft-à-dire, EP.bm:: AX. AO. Mais les triangles (conftr.) semblables bmX, BDX, donnent bm. BD::bX. BX (conftr.) :: BO. BX. Donc (en multipliant. par ordre) BP. BD:: BO×AX.BXxAO.

Ces nomb. 1. 2. donnant ainfi Ed. Bp :: BXxAw.BO×Ax. Et BP. BD:: BO×AX. BX×AO. l'on aura ( en multipliant parordre) BPxBd. BD×Bp :: BO×AX×BX×A∞. EX×AO× BOXAx:: AXXA. AO×Ax. Mais la conftruction donnant AX> Ax, & Aw> AO, donne pareillement AXx

A. AO×Ax. Donc auffi BPxBd> BDxBp; & par confequent BP. BD> Bp. Bd. Ce qu'il falloit démontrer.

AUTRE DEMONSTRATION.

Soit menée la droite BA, & pour abreger nos expreffions, foit la caracteristique des finus, en forte que fBAO, BAX, &c. fignifient les finus des angles BAO, BAX, &c. Cela pofé, le Corol. 2. du Lem. 8. donnera BO. AO::/BAO. SABO. Le même Corol. 2. du Lem. 8. donnera auffi AX BX:: SABX.SBAX ( Déf. 9. Corol. 2.)

SABO./BAX. L'on aura de plus AO. AX:: AO. AX. Donc (en multipliant ces trois analogies par ordre) l'on aura BO. BX : : ÁO×sBAO. AX×sBAX. Par un semblable raisonnement on trouvera de même Bw. Bx:: Awx/BA∞. Axx/BAx. Mais (Hyp.) BO. BX:: B. Bx. Donc auffi AO×sBAO. AX×sBAX:: AwxsBA. Axx/BAx. Et confequemment AOxAx×sBAO×sBAx=AX×Aw×sBAX× BA; d'où réfulte AXXA. AO×Ax:: SBAO×sBAx. BAXX/BA. Mais la contruction donnant AX Ax, & Aw> AO, donne AXxAw> AOxAx. Donc auffi BAOx/BAx > BAX-/BAw. Or en prenant AB pour le finus total, l'on aura (Déf. 9. Corol. 1.) BP/BÃO, BD=/BAX, Bp=/BA∞, & Bd=/BAx. Donc BPxBd> BDxBp. Par confequent BP. BD Bp. Bd. Ce qu'il falloit encore démontrer.

TROISIEME DEMONSTRATION.

Toutes chofes demeurant les mêmes, le Corol. 2. du Lem. 8. donnera,

1o. ЛBAw.ЛAwB:: Bw. AB (conftr.) : : BO. AB.
2°. JA@B. SAxB:: Ax. Aw.

3°. SAxB.BAx :: AB. Bx (conftr.) : : AB. BX. Donc (en multipliant par ordre ) SBA". SBAx:: BOX Ax. AuxBX. ou BAx. (BA:: A@xBX.BO×Ax. On trouvera de même (BAO./BAX:: BOXAX. AO×BX. (Donc en multipliant encore par ordre | BAO×/BAx. ✅BAX×sBA® :: BO×AX×A®×BX. AO×BX×BO×Ax:;