(y). HL ou HK. Donc CK=x+1/2, CL=x

m

aayy bbyy
+

mm

mm

4am, en mettant pour xy

fa valeur * mm. Donc CS-CM-CB-CA; Ce + Art, 101. qu'il falloit démontrer.

Si l'angle GCg, fait par les afymptotes, étoit aigu, au lieu que dans cette figure & le raifonnement qui lui est approprié, il eft obtus; CF feroit alors plus grande que CE, & on prouveroit de la même maniere que CM-CS-CA-CB. Mais fi l'angle GCg fait par les afymptotes étoit droit, il est visible alors que les lignes AB, MS, feroient perpendiculaires fur l'afymptote CG; & qu'ainfi les deux demi-diametres conjugués CM, CS, feroient égaux entr'eux, de même que les deux demi-axes CA, CB. Or comme alors la differen ce des deux diametres conjugués Mm, Ss, eft nulle, auffi-bien que celle des deux axes Aa, Bb; il s'enfuit que cette Proposition est vraïe dans tous les cas.

COROLLAIRE.

126. DE-LA il eft évident qu'un premier diametre quelconque Mm, eft moindre, plus grand, ou égal au fecond diametre Ss, qui lui eft conjugué, felon que l'angle GCg, fait par les afymptotes, eft obtus, aigu, ou

droit.

DEFINITION.

16.

Les deux Hyperboles oppofées font appellées Equila teres, lorfque deux de leurs diametres conjugués quel conques font égaux entr'eux; ou bien lorfque l'angle fait par leurs afymptotes eft droit.

FIG. 52.

COROLL AIR E.

127. Si d'un point quelconque M d'une Hyperbole équilatére, l'on mene une ordonnée MP à tel de fes * Art, 81, & diametres Aa qu'on voudra, on aura * MP'—CP2+ CA: fçavoir, lorfque Aa eft un premier diametre ; &→, lorfque c'est un second. Car le diametre conjugué * Art. 126. au diametre Aa* lui fera toûjours égal.

118.

FIG. 53.54.

& 55.

PROPOSITION XIII

Problême.

128. DEUX diametres conjugués quelconques étant donnés, & fachant lequel des deux eft le premiers ou ce qui re* Art. 114. vient * au mème, les afymptotes CD, CF, d'une Hyperbole étant données, avec un de fes points quelconques M: mener deux diametres conjugués Aa, Bb, qui faffent entr'eux, un angle égal à un angle donné,

Ayant couppé dans un cercle quelconque qui a pour centre le point o, un arc def capable de l'angle DCF fait par les afymptotes; on menera par le point de milieu e, de la corde df, la ligne ec qui faffe avec cette corde de part ou d'autre l'angle dec ou fec égal à l'angle donne, & par le point, le point c, où elle rencontre l'arc def, les droites cd, cf. Cela fait, on prendra fur les afymptotes les parties CD, CF, égales aux cordes cd, cf; & ayant tirẻ DF, l'on menera le second diametre Bb parallele à cette ligne, & le premier diametre Aa qui pas par fon milieu E. Je dis que ces deux diametres Aa, Bb, font entr'eux un angle égal à l'angle donné, & qu'ils font conjugués l'un à l'autre.

fe

..Car par la conftruction l'angle dcf est égal à l'angle DCF fait par les afymptotes; & par confequent les triangles DCF, def, & DCE, dee, font égaux & femblables. L'angle B Ca, que font entr'eux les deux diametres A a, Bb, seradonc égal à l'angle DEC ou dec

qui a été fait égal à l'angle donné. De plus, fi l'on mene par le point A, que je fuppofe être l'une des extremités du premier diametre Aa, une parallele à DF; il eft clair qu'elle fera couppée également par ce point, puifque DF l'est au point E; & qu'ainfi elle fera tangente * Art. 109. en A; d'où il fuit que les diametres Aa, Bb, font con- * Def. 13. jugués.

*

*

Maintenant pour déterminer la grandeur de ces deux diametres, on tirera par le point donné M, une parallele MKL au premier diametre Aa, laquelle rencontre l'afymptote CD au point K, & l'autre afymptote CF, prolongée au delà du centre C, au point : & ayant pris CA moyenne proportionnelle entre K M, ML; il eft clair que le point A fera l'une des extremités du *Art. 94. premier diametre Aa; & qu'ainfi menant les lignes AB, ab, paralleles aux afymptotes CF, CD, elles * determine. * Def. 13. ront par leurs points de rencontre B, b, la grandeur du fecond diametre Bb.

Comme l'on peut mener deux differentes lignes ec, ec, qui faffent avec la corde df, de part & d'autre des an. gles dec, fec, égaux à l'angle donné, lorfque cet angle n'eft pas droit, il s'enfuit qu'on pourra toûjours trouver alors deux differens diametres conjugués Aa, Bb, qui fatisferont également, comme l'on voit dans les figures 54. & 55. Mais il eft à remarquer que les diametres conjugués Aa, Bb, de la fig. 55. ont une pofition semblable par rapport à l'afymptote C F, à ceux de la figure 54. par rapport à l'autre afymptote CD; & que leur grandeur demeure la même dans ces deux differentes pofitions. Car,

1o. Menant du centre au point e, milieu de la corde df, la ligne oe, elle fera perpendiculaire à cette corde, & par confequent les angles oec, oec, feront égaux; c'est pourquoi tirant les rayons oc, oc, les triangles oec, oec, qui ont le côté de commun, les angles oec, occ, & les côtés oc, oc, égaux entr'eux, auront auffi leur troifiémes côtés ec, ec, égaux. Les triangles fec, dec, qui ont les côtés ef, ed, & ec, ec, & les

angles fec, dec, égaux, feront donc égaux & femblables, d'où l'on voit que l'angle e cf, ou ECF, de la figure 55. eft égal à l'angle ecd, ou ECD, de la fig. 54. & qu'ainfi la pofition du diametre Aa, de la fig. 55. par rapport à l'afymptote CF, eft femblable à celle du diametre Aa, de la figure 54. par rapport à l'autre asymptote CD. 2o. Si l'on mene dans la figure 55. la ligne Ml, qui faffe avec l'afymptote CF, prolongée du côté du centre C, l'angle MIC égal à l'angle MLC ou ECF, de la figure 54: il eft clair que les lignes Ml, Mk, de la figure 55. feront égales aux lignes ML, MK, de la figure 54; puifqu'on fuppofe que la position du point M par rapport aux afymptotes, eft la même dans ces deux figures. Or l'angle MIL, complement à deux droits de l'angle MIC, de la figure 55. ou de ECF de la figure 54, eft égal à l'angle MKk, complement à deux droits de l'angle ECD de la figure 55. ou de ECF de la fig. 54; Et par confequent dans fig. 55. les deux triangles LMI, kMK, qui ont l'angle en M commun, & les angles aux points, K, égaux, feront semblables: ce qui donne LM. Ml:: kM, MK. Et partant LM×MK=/M×Mk ou * Art. 94. LM×MK de la figure 54. D'où l'on voit * que les premiers demi-diametres CA, CA, des figures 54 & 55, font égaux. Il en eft de même du diametre Bb; puifque fa pofition & fa grandeur dépendent de celles du premier diametre Aa, auquel il eft conjugué.

57.

Comme l'on ne peut mener qu'une feule ligne ec, qui faffe avec la corde df de part ou d'autre, un angle égal FIG. 56. & à l'angle donné, lorsque cet angle eft droit; il s'enfuit qu'il n'y a que deux diametres conjugués Aa, Bb, qui *Art. 111. faffent entr'eux un angle droit ; & qu'ainfi* ils feront les deux axes. Mais le triangle def où DCF, étant alors ifofcelle, le premier axe Aa divifera par le milieu l'angle DCF fait par les afymptotes; d'où l'on voit que pour trouver de pofition les deux axes, il n'y a qu'à tirer deux lignes droites Aa, Bb, perpendiculaires entr' elles, dont l'une d'elles Aa, divife par le milieu l'angle

DCF,

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