On fera sans doute ici une Objection , que plusieurs personnes ont déja faire , qui est que les Théorémes du cinquiéme Livre d'Euclide, ne servant pas

seulement à la démonstraition de ses Elémens, mais aussi à celle de toutes les autres parties des Mathématiques , on ne devoit pas les retrancher de cet ouvrage : on auroit eu effectivement très grand tort de les en bannir , fi les Elémens de Géométrie renfermoient ceux des Mathématiques parce qu'après avoir lû ceux-ci , on ne seroit nullement en état de voir quantité d'autres ouvrages auxquels les proportions , c'est-àdire , le langage du cinquiéne

, Livre d'Euclide,eft absolument nécessaire ; mais ce principe si général & fi nécessaire presqu'à toutes les parties des Mathé

matiques , cesse de l'être à la Géométrie , & lui devient un secours étranger dès qu'on peut la démontrer sans lui : il est donc en quelque forte déplacé dans ses Elémens , & ne convient proprement, que dans un Traité de Grandeur en général, par lequel doivent commencer ceux qui ne veulent pas uniquement s'en tenir à la Géométrie.

Il est vrai que du tems d’Euclide , & long-tems après lui, ses Elémens suffisoient pour toutes les Mathématiques; mais il s'en falloit de beaucoup qu'elles fufsent étenduës & traitées comme elles le font aujourd'hui ; il paroît donc que ce n'est pas une faute d'avoir supprimé d'un ouvrage ce qui n'y étoit

que

trèslégérement expliqué , & qui pour avoir quelque utilité ; & sur-tout une application généra: le, doit être aujourd'hui approfondi dans un traité particulier.

Ces Elémens sont donc di. visés en sept Livres,dont le premier contient ce qu'il faut Içavoir des différentes positions que peuvent avoir deux lignes droites au regard l'une de l'autre, de même que des diverses situations d'une seule ligne droite par rapport à un cercle.

Le second comprend ce qui regarde la position des lignes droites par rapport aux angles qu'elles peuvent former.

Le troisiéme enseigne ce qu'il y a de plus nécessaire touchant Yes les triangles rectilignes.

Le quatriéme donne une connoissance de ce qu'il y a de plus important dans les figures de plus de trois côtez.

C'est dans celui-ci qu'est la fameuse quarante-septiéme prof.

- position d'Euclide, dont Pythagore est l'inventeur , & qu'il

fut si ravi d'avoir trouvée , qu'il - en fit, dit-on , éclater sa reconnoissance par une Hécatombe, c'est-à dire,un sacrifice de cent boufs, qu'il offrit aux Muses, à l'inspiration desquelles il croyoit devoir la découverte de cet admirable Théorême : ce ne fut pas sans raison , puisqu il renferme la plus importante vérité de la Géométrie plane , & qu'il sert de fondement à une grande partie des Mathématiques.

L'importance de cette proposition., & l'impossibilité que Pélétarius a cru qu'il y avoit de la démontrer autrement qu'Euclide , hors par la voye des proportions , ont donné lieu aux nouvelles démonstrations que l'on en donne dans ce quatriés

و ۔

me Livre, où on l'a renduë générale & étenduë à toutes fortes de triangles : le même principe qui a servi à ces démonstrations

est employé pour prouver l'égalité qui se trouve entre les rectangles, de même qu'entre les figures femblables décrites sur les côtez d'un triangle rectangle, ce qui n'a jamais été fait qu'avec le secours du cinquième Livre d'Euclide , & de presque toutes les propolitions du sixiéme, dont la plûcpart peuvent être regardées comme des Lemmes pour parvenir au dévelopement des ve- ritez dont on vient de parler.

Ainsi donc, voilà les plus belles propositions , & les plus -nécessaires de la Géométrie expliquées, sans qu'il ait été nullement question des

proportions ; il faut cependant re