de 1703*, que M. de Lagni trouve que les Logarithmes, * p. 61. 62. tels qu'ils font jusqu'à present, font défectueux & arbi- & 64. traires, & qu'il prétend leur en substitüer d'autres plus parfaits & naturels, tirés de son Arithmetique Binaire. D'un autre côté, il faut sçavoir que l'Hiperbole prise entre ses Asimptotes a cette proprieté, que si on prend une Asimptote pour diametre, qu'on la divise en parties égales, & que par toutes ces divisions qui formeront autant d'Abscisses toûjours croissantes également, on tire des Ordonnées à la Courbe, paralleles à l'autre Asimptote, les Abscisses representeront la suite infinie des Nombres naturels, & les espaces Asimptotiques ou Hiperboliques correfpondants, representeront la suite des Logarithmes de ces Nombres. Pour prendre quelque idée de cette verité, il n'y a qu'à considerer que le rapport arithmeti que est toûjours le même dans la suite des Nombres naturels, puisqu'ils croissent toûjours d'une unité, & que leur rapport geometrique décroît toûjours, de sorte qu'entre deux nombres voisins il est toûjours d'autant plus petit, qu'ils font plus avancés dans la suite, ou, ce qui est la même chose, plus grands. Ainsi le rapport geometrique de 99 & de 100 est plus petit que celui de 9 & de 10, ou, ce qui revient au même, 99 & 100 approchent davantage de l'égalité, non pas arithmetiquement, mais geometriquement, parce que i qui est la difference de part & d'autre est moins considerable par rapport à 100, que par rapport à 10. Si la suite naturelle pouvoit avoir une fin, on conçoit que I difference des deux derniers nombres feroit infiniment petit par rapport à eux, & par consequent les laisseroit égaux. Les Logarithmes font des nombres qui par leur rapport arithmetique reprefentent le rapport geometrique des nombres naturels, & par consequent le rapport arithmetique des Logarithmes dé- croît toûjours, quoique les Logarithmes croissent toû jours, ainsi que les nombres naturels correfpondants, ou, ce qui est la même chose, les Logarithmes croiffent roujours, mais de moins en moins. Or telle est aussi la na E ture de l'espace compris entre une Asimptote & l'Hiperbole, qu'il croît à l'infini, mais toûjours de moins en moins, parce que l'Hiperbole s'approche toûjours da. vantage de l'Asimptote, & il croît de moins en moins felon la même proportion que les Logarithmes. Cette proprieté se trouve dans toutes les differentes Hiperboles, car on sçait que par un même point du Cone pris pour sommer, il se peut former une infinité d'Hiperboles differentes, aussi bien que d'Ellipses, au lieu qu'il ne se pourroit former qu'une Parabole ou qu'un Cercle. Les Asimptotes de ces differentes Hiperboles font toutes entre elles un angle different, & leurs espaces Asimptotiques, quoique tous infinis, font inégaux, parce que deux Hiperboles differentes, dont chacune s'approche toûjours de plus en plus de ses Asimptores, ne laissent pas de s'en approcher inégalement. Delà vient qu'une Asimptote de chacune de ces deux Hiperboles ayant été divisée en - parties égales entre elles, & égales aux divisions de l'autre, les espaces asimptotiques correspondants seront inégaux, & par consequent à la même suite des nombres naturels, il peut répondre differentes suites de Logarithmes; & en effet puisque la maniere de construire les Tables des Logarithmes est de prendre o ou oo ou enfin tant. de Zero qu'on voudra pour Logarithme de 1; 100 ou 1000 &c pour Logarithme de 10; 200 ou 2000 &c pour Logarithme de 100, & toûjours ainsi en prenant les nombres naturels selon la progression de 1 à 10, aprés quoi les Logarithmes de tous les nombres interpofés entre 1 & 10, entre 10 & 100 &c font déterminés par ces premiers Logarithmes des nombres 1, 10, 100 &c, il est clair que si au lieu de la progression de 1 à 10, on eût pris, par exemple celle de 1 à 8, & qu'on eût donné aux nombres 1, 8, 64 &c les mêmes Logarithmes qu'on a donnés dans l'autre hipothese aux nombres 1, 10, 100 &c. les Logarithmes des nombres interposés, 2, 3, 4, &c. auroient été dans la seconde hipothese differents de ceux de la premiere, & par consequent la même suite des nombres nombres naturels peut recevoir differentes fuites de Logarithmes, ou, ce qui revient au même, une infinité d'Hiperboles differentes peuvent representer par leurs espaces asimptotiques les Logarithmes des nombres naturels. Pour déterminer la suite des Logarithmes, il faut donc faire un choix arbitraire de quelque Hiperbole, mais il est certain que ce choix sera d'autant meilleur, qu'il sera moins arbitraire, & plus fondé en raison. Or la plus fimple de toutes les Hiperboles est l'équilatere, c'est à dire celle dont les Asimptotes font entre elles un angle droit, car quand deux lignes peuvent faire entre elles differents angles, le droit est en quelque forte le plus naturel de tous, & c'est incontestablement celui qui produit dans les figures les proprietez les plus simples. Delà M. de Lagni conclut que pour regler les Logarithmes il auroit falu choisir l'Hiperbole équilatere, & on auroit trouvé ceux que son Arithmetique Binaire lui donne. Au lieu de suivre cette Arithmetique Binaire, ou, ce qui est la même chose, de couper toûjours la suite des nombres de deux en deux, on l'a coupée de dix en dix, & on s'est assujetti à cet usage dans la détermination des Logarithmes. Ceux que l'on a établis répondent donc à une autre Hiperbole que l'équilatere, & M. de Lagni a cherché quelle est cette Hiperbole, c'est à dire, quel angle font ses Afimptotes. Comme toute Hiperbole peut être décrite par le moyen d'un Parallelogramme pris fur ses deux Asimptotes, & dont l'angle des Asimptotes est un des angles, M. de Lagni trouve par sa Propofition quelles font les Diagonales du Parallelogramme qui a formé l'Hiperbole à laquelle répondent les Logarithmes communs, & par ces Diagonales il détermine que l'angle des Afimptotes de cette Hiperbole est de 25° 44' 25" à peu prés. La grandeur de cet angle irreguliere & bisarre, pour ainsi dire, fait asses voir qu'il n'auroit pas dû être préferé à l'angle droit, & que les Logarithmes dont l'Hiperbole équilatere seroit le modele, meriteroient le titre de naturels, à l'exclusion de tous les autres, qui ne pourroient 1706. M être traités que d'arbitraires. Cela justifie ce que M. de Lagni a déja avancé plusieurs fois sur les Logarithmes communs, & ce n'est peut-être pas un des moindres fruits de la Proposition des Diagonales des Parallelogrammes, que de lui avoir aidé à mettre sa pensée & sa prétension dans tout son jour. SUR LES RAYONS V. les M. P. 490. * p. 81. DES DEVELOPÉES DES COURBES Conçües comme formées d'Elements Courbes. N * Ous avons dit cy-dessus que quand les Courbes se formoient par des Mouvements composes, & que l'un des deux étoit acceleré ou retardé, on ne pouvoit se difpenfer de regarder les Arcs infiniment petits ou Elements de la Courbe, comme courbes eux-mêmes. Jufqu'ici on les a pris pour droits dans leSistême desInfiniment petits, & dans tous les calculs qui en dépendent, & comme cette diversité d'hipothese pourroit faire quelque embarras, M. Varignon donne dans la recherche des Rayons des Developées un exemple de la maniere dont il faut operer sur les Elements courbes. * , Il est bien vrai, & nous l'avons dit dans l'Hist. de 1701. en traitant cette matiere, & cy-dessus à l'endroit déja cité, que les Geometres avoient avancé qu'une Courbe formée par le dévelopement d'une autre pouvoit être conçuë comme composée d'une infinité de petits arcs circulaires tous décrits de differents centres, & fur differents rayons. Mais cette idée n'a été proposée que pour mieux faire entendre la géneration des Courbes par le dévelopement, & elle n'a jamais servi de principe aux calculs geometriques que l'on a faits pour trouver les rayons des Dévelopées. Elle le devient maintenant pour la premiere fois entre les mains de M. Varignon. Quand on imagineroit une composition de mouvements qui produiroit un Element courbe d'une autre courbure que la circulaire, parabolique, par exemple, ou hiperbolique, on seroit toujours en droit de le regarder comme circulaire, parce qu'étant infiniment petit il n'auroit nulle proprieté particuliere ni de la Parabole ni de l'Hiperbole, & que tout son caractere geometrique consisteroit en ce que le rayon de la Dévelopée lui feroit perpendiculaire, ce qui est une proprieté du Cercle. M. Varignon prend donc tous les Elements courbes pour circulaires. Quelque Element supposé courbe que l'on prenne dans une Courbe quelconque, il sera donc toûjours commun & à cette Courbe, & à un Cercle qui auroit pour rayon celui de la Dévelopée, ou, ce qui est la même chose, le Cercle touchera la Courbe en cet Element-là. Mais comme le rayon de la Dévelopée varie incessamment, & infiniment peu à chaque instant, un autre Cercle décrit fur un rayon infiniment proche du premier, & plus grand ou plus petit d'une difference infiniment petite, aura aussi l'arc circulaire immediatement suivant commun avec la Courbe, ou la touchera en cet Element. Et parce que deux Cercles décrits de deux centres infiniment proches, & sur deux rayons infiniment peu differents, ne sont que le même Cercle fini, le même Cercle décrit sur un rayon quelconque de la Dévelopée, aura deux de ses arcs infiniment petits communs avec la Courbe, ou, ce qui revient au même, exactement appliqués sur deux arcs de la Courbe ; & fi l'on veut pouffer encore cette idée plus loin, les deux arcs circulaires à cause de la difference infiniment petite de leurs rayons, feront appliqués sur ceux de la Courbe, l'un en dedans, l'autre en dehors, desorte que le même Cercle ayant été interieur à l'égard de la Cour. be, & l'ayant touchée en un point, lui deviendra exterieur dans le point immediatement suivant, & par consequent la coupera en la touchant encore. Avoir un arc infiniment petit, ou un seul point commun avec une Cour |