Les triangles rectangles FPM, GPM donneront, CC 2Cxxx + = aa yy 2af + ss, & cc+2cx + xx + yy — aa✦ 2af+fs, & en ôtant la premiere de la feconde, le premier membre du premier & le fecond du fecond, l'on aura 4cx = = 4af, d'où l'on tire сх s==, & mettant cette valeur de f, & celle de fon a quarré dans l'une des deux premieres équations, l'on aura cc aa ¿cx + xx+yy = aa — 2cx + , d'où l'on tire en réduifant, tranfpofant, & divifant par aa - cc; aa xx = aa CCXX Mais lorsque le point P tombe en C, PM (y) devient CD, & ( x ) devient nulle, ou = 0; c'est pour aayy quoi en effaçant le terme xx, l'on a aa = ou ad aa - cc = — cc = yy = CD2, & partant y +CD: nommant donc CD, b; l'on a, aa—ccbb ; d'où l'on tire a— c (AF). b (CD) :: b (CD). a + c ( FB). Qui eft une des chofes qu'il faloit démontrer. Or mettant 66 dans l'é-` aayy quation aa en la place de aa—cc l'on - CC a, aa - XX aayy Et comme cette équation est la même que celle qu'on a trouvée (Art. 9. n°. 10.) il suit que la courbe ADBE est une Ellipfe. Ce qui eft une des autres chofes propofées. Si dans l'équation aa — xx — aayy l'on faity=o, l'on aura xx aa; donc x= +a ce qui fait voir que I'Ellipfe paffe par les points A & B. Et en faifant x = o l'on a trouvé y CD qui montre que l'Ellipfe AM passe auffi par les points D & E, en faisant CE = CD; c'est = pourquoi (Art. 9. n°. 6. ) AB, est le diametre principal de l'Ellipfe; DE fon axe conjugé, & C le centre. Ce qu'il faloit enfin démontrer. On peut réfoudre cette équation aa— xx= aa cd Par le cercle. Mais il faut la changer en celle-ci aa — cc = puis faire cette analogie, B. a +x.y ::ỹ yy a + x & l'on aura aa—cc= On fera enfuite cette u, & l'on aura FIG. 59. FIG. 58. aayy -XX = aaz autre analogie, D. a—x. a :: a. a1c aa aa ― ¢¢ = ༢༧. Pour trouver toutes les inconnues, u, x, y, z, 10. d'un rayon qui ne foit pas moindre que la moitié d'AB = 2a décrivez le cercle ABG, infcrivez-y la corde AB=2a, fur laquelle vous prendrez AD= a + c,&DB=a—c par le point D menez une autre corde EG. Et parce que dans l'analogie D, a eft plus petit que z, il faut prendre DG u plus grand que AB. au xu = da, ou au > = AC A préfent pour avoir x, à cause de l'analogie D, on aura aaux ; ainfi nous aurons cette analogie E. u. a :: a. x. On trouvera x en faisant FIG. 60. l'angle CAF, & prenant AF, BF u — a, =a, les paralleles CF & BD menées, donnent DC=x. Enfin pour avoir y, menez, à cause de l'analogie B, la ligne AB, fur laquelle vous prendrez AD = a + x AK + DC), DB=z. De C milieu de AE, & de l'intervalle AC ou CB, décrivez le demi cercle ALB, la perpendiculaire DL=y. FIG. 61. a % aayy DEFINITIONS. I. LES points F & G font nommez les foyers de l'Ellipfe, CP, l'abciffe, ou coupée, & PM, ou Pm l'ordonnée, ou l'appliquée à l'axe AB. COROLLAIRE I. 2. IL eft clair que les lignes FM, GM menées des foyers à la circonference de l'Ellipfe font, par la defcription, ensemble égales à l'axe AB, & que PM = Pm. COROLLAIRE II. 3. IL eft auffi évident que le rectangle des deux parties AF, FB ou AG, GB de l'axe AB faites par un des foyers F, ou G, est égal au quarré du demi axe conjugué DC: car dans la Démonstration précedente l'on a trouvé cc CD. Or aa FB CD'. aa cc = a + c x a ·C, AF x COROLLAIRE I I I. 4. ON voit par les termes de l'équation aa - xx = aayy & par les fignes + & qui les précedent que x bb croiffant, y diminue: car plus x devient grande, plus aa xx diminue, & par confequent aussi yy; puifque les quantitez constantes aa, & bb demeurent toujours de même grandeur; ce qui fait voir ce qui fait voir que les points M & m de l'Ellipfe, s'approchent d'autant plus de l'axe AB, que le point P s'éloigne de C. On voit auffi que l'on ne peut augmenter x que jufqu'à ce qu'elle devienne = a; auquel cas da xx devient = aa aa = 0 ; & par confequent auffi yo, ce qui fait voir que les points M & m fe confondent alors avec les points A & B, & que L'EI lipfe coupe l'axe en ces points, comme on a déja remarqué. COROLLAIRE IV. aayy bb 5. L'EQUATION à l'Ellipse aa — xx = ^a?" étant réduite en analogie donne aa—xx (AP × PB). yy (PM2) :: aa (AC). bb ( C D2) :: 4aa ( AB2 ) 4bb ( DE2), c'està-dire que le rectangle des deux parties AP, PB de l'axe AB faites par l'appliquée PM eft au quarré de l'appliquée PM: comme le quarré de l'axe AB est au quarré de l'axe conjugué DE. COROLLAIRE V. 6. SI l'on fait AB ( 2a). DE ( 2b ) :: DE ( 26). 266, la ligne 26b que je nomme p.p fera (Art. 9. no. 13,) le parametre de l'axe AB. Or puisque a. b:: b. p, l'on a auffi-a. :: aa. bb bb; donc abb = 1 aap; = a I donc AR 24; C'est pourquoi fi l'on met dans l'équation aa - xx = ay, en la place de , fa valeur 2, l'on za, d'où l'on tire cette analogie aa aayy aa zayy aura aa xx= ; - - xx ( AP × PB). yy (PM2):: 2a (AB). p, c'est-àdire que le rectangle des deux parties de l'axe faites par l'appliquée, eft au quarré de l'appliquée, comme le même axe, eft à son parametre. VI. 7. IL fuit du Corollaire précédent que le rectangle de l'axe AB par fon parametre eft égal au quarré de l'axe conjugué DE; puifque AB. DE:: DE. p. COROLLAIRE VII. 8. SI au lieu de ou de on met un autre raport P COROLLAIRE. m aa bb 24 myy égal comme l'on aura, ad xx pour n n quoi l'on fera fur l'équation à l'Ellipfe les trois remarques fuivantes, après avoir délivré l'un des quarrez inconnus qu'elle renferme de toute quantité connue. c'est i REMARQUE I. 9. LORSQUE l'antécédent du raport qui accompagne un des quarrez inconnus de l'équation à l'Ellipfe eft égal & femblable au terme connu; ou ce qui eft la même chofe, fi cet antécédent renferme les mêmes lettres que le le terme connu de l'équation; fa racine quarrée exprimera le demi diametre dont l'autre inconnue exprime les parties; & la racine quarrée du conféquent exprimera le demi diametre conjugué. REMARQUE I I. 10. LORSQUE cet antecedent eft le double de la racine quarrée du terme connu, il exprimera le diametre dont l'autre inconnue exprime les parties; & le conféquent exprimera fon parametre. REMARQUE III. 11. EN tout autre cas ce raport marque le raport du diametre, dont une partie eft exprimée par l'autre inconnue, à fon parametre, ou le raport du quarré du même diametre au quarré du diametre conjugué. Tout cela est évident (no. 6 & 8 ). COROLLAIRE VIII. 12. D'où il fuit qu'une équation à l'Ellipfe renferme les expreffions des deux diametres conjuguez, qui forment le parallelogramme des coordonnées, ou de l'un de ces diametres, & de fon parametre, ou la raison du quarré de l'un des diametres au quarré de l'autre, ou enfin celle de l'un des deux à fon parametre: de forte qu'on aura toujours les deux diametres conjuguez par le moyen de l'équation. anyy Par exemple, dans l'équation aa - xx = y le terme FIG. 58. connu aa eft le quarré du demi diametre AC; l'antecedent aa du raport qui accompagne yy eft semblable & égal au terme connu aa; c'eft pourquoi le conféquent bb eft le quarré du demi diametre conjugé CD à l'axe ou au diametre principal AC. Dans l'équation aa — xx 247, l'antecedent 2a étant double de la racine du terme connu aa; 2a fera le diametre AB, & & p fon parametre:& partant, fi l'on fait 2a. p.:: aa. — ap; ap fera N |